Salut, Existe-t-il des fonctions exponentielles à base négative ? La définition formelle de a^x est e^xln(a), celà suppose a positif car ln n'est pas défini pour a<0. Mais intuitivement, rien n'empêche de multiplier un nombre a<0 par lui même plusieurs fois, on a sur N : a^n = a*a*...*a (n fois). Peut-on prolonger la fonction sur R ?
Oui, en imposant que la fonction obtenue est continu et qu'elle vérifie a^(x+y)=a^x.a^y, alors ce prolongement est à valeur complexe, et il n'est pas unique.
plus précisement, on pose a^x = exp(x.ln(a))
le problème étant de définir "ln(a)" quand a est négatif
ln(a) c'est un nombre tel que exp(ln(a)) = a.
hors, l'exponentielle s'etend en une fonction de C->C* défini par exp(x+iy)=exp(x)*(cos(y)+i.sin (y)) qui vérifie bien toute les propriété de l'exponentielle.
cette fonction est sujective (sur C* = C-{0} ) donc on peut toujour définir un "ln(a)". le problème c'est qu'elle n'est pas injective est donc qu'il peut y avoir plusieur ln(a)...
en fait deux valeur possible de ln(a) sont séparé par 2*i*Pi*(un entier).
par exemple, (-1)^n peut s'étendre en cos(n.Pi)+i.sin(n.Pi)
mais aussi en cos(nPi)-isin(n.pi) ou encore en cos(3nPi)+isin(3nPi) etc... toute ses fonctions vérifiant bien g(n+m) =g(n).g(m)
