(A x C) U (B x D) = (A U B) x (C U D)

[inviteaee60e7c]

Bonjour,

J'ai lu la chose suivante :

"Soient X et Y deux ensembles, A et B deux sous-ensembles de X et C et D deux sous-ensembles de Y. Alors : (A x C) U (B x D) = (A U B) x (C U D)"
(et de même en remplaçant le symbole d'union par le symbole d'intersection).

Je ne comprends pas pourquoi.

Par exemple si A = {a}, B = {b}, C = {c}, D = {d}
alors (A x C) U (B x D) = {(a,c), (b,d)}
et (A U B) x (C U D) = {a,b} x {c,d} = {(a,c),(a,d),(b,c),(b,d)}.

N'est-ce pas un contre-exemple ?
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[invite4793db90]

Salut,

en effet, l'égalité est clairement fausse. L'inclusion est néanmoins valable.

Cordialement.

[inviteaee60e7c]

Merci ! D'où l'intérêt de ne pas apprendre mécaniquement toutes les "formules" sans réfléchir !

Par contre l'égalité pour l'intersection m'a l'air correcte ?

[invite4ef352d8]

Salut !

oui pour l'intersection c'est vrai. pour t'en convaincre, prouve le, si tu t'y prend correctement (ie en prouvant la double inclusion comme toujours) c'est très très simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaee60e7c]

Salut !

Pour prouver l'intersection j'ai tenté ceci :

(A X C) ( B X D) = {(x,y) | (x,y) (A X C) et (x,y) (B X D)}
= {(x,y) | x A et y C et x B et y D}
= {(x,y) | x (AB) et y (CD)}
= (A B) X (C D)}

Est-ce que c'est une bonne preuve ?

Merci par avance

[invite4d815dd6]

Bonsoir, je réponds bien longtemps après la discussion, mais je suis confrontée au même problème.
Pour le résoudre, j'ai procédé par double inclusion.

(AxB)U(BxD) (AUB)x(CUD).

Soit x (AxB)U(BxD) alors :
x {a,c , a A, c C ou b,d , b B, d D}.

Or {a,c, a A, c C et b,d , b B, d D {a,b ou a,d ou c,b ou c,d , a A, b B, c C, d D}
Plus largement,
x {a,b ou a,d ou c,b ou c,d , a A, b B, c C, d D}

Puis-je rédiger comme cela la première inclusion ?

[gg0]

Ce que tu écris est manifestement faux, pour autant qu'on essaie de lui donner du sens.
Au lieu de manipuler des écritures que tu ne comprends pas toi-même, raisonne en bob français, c'est assez simple, il n'y a que 2 cas à considérer.

Tu auras aussi à lire les 5 premiers messages, pour éviter de perdre ton temps ....

Cordialement.

[PlaneteF]

Bonsoir,

(AxB)U(BxD) (AUB)x(CUD).

Tu t'es trompé dans l'énoncé !

Cordialement