Injectivité, surjectivité

[invite4d815dd6]

Bonsoir,
Je rencontre un problème avec un exercice sur l'injectivité :

Soit E, F et G trois ensembles f F et g G.
Montrer que :
1. Si g o f est injective, alors f est injective. g l'est-elle forcément ?

J'ai appliqué simplement mon cours pour montrer que f est injective en montrant que si f(x)=f(x') alors x=x'.

f(x)=f(x') g(f(x))=g(f(x')) gof(x)=gof(x') x=x'
Puisque gof injective.

Mais comment justifier que g n'est pas forcément injective dans ce cas ?

Merci d'avance.
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[PlaneteF]

Bonjour,

Mais comment justifier que g n'est pas forcément injective dans ce cas ?

En donnant un contre-exemple.

Cordialement

[invite4d815dd6]

J'y ai pensé, mais y en a t-il des évidents ?

Comment créer une application composée d'une fonction injective et d'une non injective qui sera elle même injective?

[PlaneteF]

J'y ai pensé, mais y en a t-il des évidents ?

Oui, ... et même des archi-évidents.

Par exemple tu peux choisir , et

A partir de là je te laisse soin de proposer un graphe de et de manière évidente.


Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4d815dd6]

Dans ces conditions, je peux écrire :

f définie par
{b=f(a)
{c=f(a)
elle est injective car elle admet au plus un antécédent dans E.

g définie par
{d=g(b)
{d=g(c)
elle est non injective car elle admet d admet deux antécédents dans F


Ainsi gof(a)=d est injective car elle admet au plus un antécédent dans E.

Ou je suis à côté de la plaque ?

[PlaneteF]

f définie par
{b=f(a)
{c=f(a)

Si (c'était ce que je proposais implicitement), ta définition n'est pas valide, puisque dans ce cas aurait 2 images distinctes, ce qui n'est pas possible pour une fonction ou une application.

Cdt

[invite4d815dd6]

Ah oui pardon, alors je définis simplement f par :
{f(a)=b

[PlaneteF]

Ah oui pardon, alors je définis simplement f par :
{f(a)=b

Oui (par exemple).

Par contre, il faut que tu corriges les 3 phrases ci-dessous qui ne veulent rien dire du tout.

(...)

elle est injective car elle admet au plus un antécédent dans E.

(...)

elle est non injective car elle admet d admet deux antécédents dans F


Ainsi gof(a)=d est injective car elle admet au plus un antécédent dans E.

Cdt

[invite4d815dd6]

Merci, je pense avoir correctement rectifié.
Pour la dernière question :
Si g o f est surjective, alors g est surjective. f l'est-elle forcément ?

Je procède également à l'aide d'un contre-exemple ?

[PlaneteF]

Je procède également à l'aide d'un contre-exemple ?

What else?

Cdt

[invite4d815dd6]

D'accord, j'ai pris le même que pour le premier contre-exemple en montrant que f n'est pas surjective.

[PlaneteF]

Oui, ... tu peux effectivement prendre le même contre-exemple.

Allez, un autre contre-exemple, juste pour le fun :






Cdt