injectivité, surjectivité

[invitedf04a0e5]

Bonsoir

j'ai un problème pour résoudre 2 questions, pourriez-vous me donner un coup de main ? par ailleurs pourriez vous me dire si ce que j'ai fait est correct

soient E et F deux ensembles et f : E --> F une application.

1) a) Montrer que pour tte partie de E

voilà ma réponse: soit alors

donc

est- ce correct ??

b) montrer que f est injective si et seulement si pour tte partie A de E

alors là je bloque, je ne vois pas cmt utiliser la définition de l'injectivté.
()


2)a) montrer que pour tte partie B de F

ma réponse : soit
alors

b) montrer que f est surjective si et seulement si pour tte partie B de F

là pareil je ne sais pas comment aplliquer la déf ( il existe tq )

je vous remercie d'avance pour votre aide et je vous souhaite une bonne nuit
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[inviteb250fe1a]

Bonsoir

1.a) Ce n'est pas correct. Tu ne sais rien a priori de ta fonction , par conséquent tu ne peux pas affirmer . Il faut s'en tenir à la définition, à savoir que pour un ensemble , on a . La démonstration est alors immédiate, soit , alors et par définition .

1.b) Il faut montrer l'inclusion inverse de la première. Soit , alors , il existe donc un tel que . Par injectivité de la fonction , . C'est fini.

La 2) se résout exctament de la même manière, bonne chance.

[invited5b2473a]

2)a) soit y dans f(f^-1(B)). Alors il existe y tel que f(y) soit dans B et x=f(y). Ainsi, x est dans B.

b) <=
f(f^-1({y})) = {y} donc f^-1({y}) n'est pas vide (car f(vide) = vide)

=>

soit y dans B. il existe par hypothèse x tel que y = f(x). Or f(x) est dans B donc x est f-1(B). Donc y est dans f(f^-1(B)) et c'est bon!