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injectivité, surjectivité



  1. #1
    sandalk

    injectivité, surjectivité


    ------

    Bonsoir

    j'ai un problème pour résoudre 2 questions, pourriez-vous me donner un coup de main ? par ailleurs pourriez vous me dire si ce que j'ai fait est correct

    soient E et F deux ensembles et f : E --> F une application.

    1) a) Montrer que pour tte partie de E

    voilà ma réponse: soit alors

    donc

    est- ce correct ??

    b) montrer que f est injective si et seulement si pour tte partie A de E

    alors là je bloque, je ne vois pas cmt utiliser la définition de l'injectivté.
    ()


    2)a) montrer que pour tte partie B de F

    ma réponse : soit
    alors

    b) montrer que f est surjective si et seulement si pour tte partie B de F

    là pareil je ne sais pas comment aplliquer la déf ( il existe tq )

    je vous remercie d'avance pour votre aide et je vous souhaite une bonne nuit

    -----

  2. #2
    Flanders

    Re : injectivité, surjectivité

    Bonsoir

    1.a) Ce n'est pas correct. Tu ne sais rien a priori de ta fonction , par conséquent tu ne peux pas affirmer . Il faut s'en tenir à la définition, à savoir que pour un ensemble , on a . La démonstration est alors immédiate, soit , alors et par définition .

    1.b) Il faut montrer l'inclusion inverse de la première. Soit , alors , il existe donc un tel que . Par injectivité de la fonction , . C'est fini.

    La 2) se résout exctament de la même manière, bonne chance.

  3. #3
    indian58

    Re : injectivité, surjectivité

    2)a) soit y dans f(f-1(B)). Alors il existe y tel que f(y) soit dans B et x=f(y). Ainsi, x est dans B.

    b) <=
    f(f-1({y})) = {y} donc f-1({y}) n'est pas vide (car f(vide) = vide)

    =>

    soit y dans B. il existe par hypothèse x tel que y = f(x). Or f(x) est dans B donc x est f-1(B). Donc y est dans f(f-1(B)) et c'est bon!

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