Injectivité/Surjectivité

[invited0b2ef3b]

Bonjour à tous!

J'ai du mal à démontrer l'injectivité et la surjectivité d'une application dans les exercices.. c'est pourquoi je demande votre aide

Est ce qu'il existe des méthodes pour démontrer qu'une application est injective ou bijective?

La seule que je connais, (je ne veux pas me limiter à celle-là car elle se limite qu'à certaines applications), c'est de démontrer qu'une application est bijective par sa monotonie (comme ça on a l'injectivité et la surjectivité en même temps! ^^)

Est-ce que quelqu'un peut m'éclairer?

Cordialement,

Elek
-----

[Arkangelsk]

Bien sûr ,

Rappel :

Si est une application de dans :

- est injective si
- est surjective si tout élément de a un antécédent dans par
- est bijective si elle est à la fois injective et surjective

[invite14e03d2a]

c'est de démontrer qu'une application est bijective par sa monotonie

Ce que tu écris est très imprécis:
-> Une application (A partie de R) strictement monotone est injective.
-> Une application monotone (même strictement monotone) n'est pas forcément surjective. Par exemple, f définie sur [0,2] par f(x)=x si et f(x)=1+x si est strictement croissante, mais non surjective.
-> Un cas où ça marche: soit CONTINUE sur I, INTERVALLE de R. Alors si f est strictement monotone, f est une bijection de I sur f(I).

Cordialement

[invite173dee73]

Bien sûr ,

Rappel :

Si est une application de dans :

- est injective si
- est surjective si tout élément de a un antécédent dans par
- est bijective si elle est à la fois injective et surjective

En d'autres termes

a) pour l'injectivité :
tu considère a l'équation f(a) = f(b) tu dois démontrer que nécessairement a = b

tu peux aussi raisonner par l'absurde en considérant a != b et pourtant f(a) = f(b) et trouver une contradiction.

a) pour la surjectivité :

Tu dois démontrer que f(E) = F ( attention égalité et pas inclusion)

Tu peux aussi montrer qu'il existe des(ou un) éléments z de F tel qu'il est impossible
de trouver a dans E avec f(a) = z

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited0b2ef3b]

Merci pour vos réponses mais je n'arrive toujours pas à résoudre un exercice:

.........exp(x²-1) - 2...........x<=-1
f(x)= -x² - 3mx + 1............x>-1
.........0...........................x=1

Déterminer m (un réel) tel que f soit injective.

Pouvez vous me donner des pistes?

Merci d'avance!

[invite173dee73]

Tu devrai commencer à appliquer les indications précédente sur chacun des intervalles ! Tu bloques où exactement?

[invited0b2ef3b]

C'est bon! J'ai trouvé!

Merci pour votre aide!

[invitea0bd31f3]

si on a f est injective on peut dire que si x>y alors f(x)>f(y)

[gg0]

si on a f est injective on peut dire que si x>y alors f(x)>f(y)

Complétement faux !!