solution explicite

[inviteec75d1fa]

bonsoir :
est il possible que vous m'aidiez pour resoudre l'equation suivante :

x-sin(x)-kx^(2/5)=0
tel que x est suposé connu?

et est il possible de remplacer sin(x) par exp(ix)-exp(-ix))/(2i) est r"soudre l'equation précédente? CAD:
(exp(ix)-exp(-ix))/(2i) =x-kx^(2/5)
merci d'avance
-----

[RoBeRTo-BeNDeR]

je ne comprends pas tu dis "résoudre" et "x est supposé connu" alors tu résoud en k ou en x ? Et de plus elle n'as pas l'air de toute gentillesse celle ci comme équation avec un 2/5 en puissance.

[breukin]

Si c'est k qui est une constante donnée (seule façon d'avoir un problème intéressant), il s'agit d'une équation transcendante, qui n'aura pas de solution explicite.
On ne peut qu'en avoir des solutions numériques.
Toutefois, rien n'empêche de faire une analyse graphique en regardant le comportement de x-sinn(x), fonction strictement croissante mais avec des points où la dérivée est nulle, et en déduire que cette courbe croisera toujours kx^2/5 au moins une fois, hormis 0. Mais le fait que la dérivée s'annule rend envisageable la possibilité qu'il y ait plusieurs solutions pour certaines valeurs de k faisant passer la courbe au voisinage des points d'annulation de la dérivée.

[inviteec75d1fa]

bonjour :
merci sur la participation, apparement j'ai commis une faute.

le paramétre supposé connu c'est bien k et ne pas x, car x c'est le terme voulu connaitre

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec75d1fa]

j'ajoute, même si connaissez vous des simplifications pour avoir des solutions approchées sa sera trés interréssant pour moi; puisque je sais (selon mes connaissances) que cette forme jusqu'a maintenant na pas une solution explicite( que pensez vous?es que c'est juste)

[inviteec75d1fa]

j'ajoute, même si connaissez vous des simplifications pour avoir des solutions approchées sa sera trés interréssant pour moi; puisque je sais (selon mes connaissances) que cette forme jusqu'a maintenant na pas une solution explicite( que pensez vous?es que c'est juste)

SVP où etes vous, je n'ai pas reçu une réponse? à ce point que ce probléme est délicat!!!!!!!!

[breukin]

Je pense qu'il est effectivement difficile d'obtenir, même sous forme asymptotique, les solutions de cette équation.
Voici ce que j'ai pu constater et obtenir :

On veut donc résoudre l'équation , avec . Dans votre cas, .

Constat graphique sur le croisement de la courbe avec :
Quand croît depuis 0, il y a une racine unique , puis à un moment, la courbe tangente la courbe , créant une racine double au delà de la racine simple .
Ensuite, on a 3 racines simples, , et , issues de la racine double, puis quand continue de croitre, la courbe tangente à nouveau la courbe , créant une racine double, issue du rapprochement de et , et une racine simple au delà.

On va déjà essayer de déterminer les lieux où les courbes sont tangentes. Il faut que les valeurs soient égales ainsi que leurs dérivées. Donc et . Soit :

Donc ces lieux, solutions de cette équation, sont indépendants de .

On peut assez facilement montrer, que pour tout entier , on a deux solutions .
On peut tenter de faire un développement asymptotique de ces solutions, pour grand. A l'ordre 0, en négligeant le sinus cardinal, on a soit . En prenant , on peut affiner au premier ordre en , sauf erreur.

On a alors les valeurs de telles que la courbe tangente la courbe , à savoir :

Et on peut constater que . Donc :
Il y a une racine simple inférieure à pour .
Il y a une racine simple inférieure à , ainsi que la racine double pour .
Il y a trois racines simples pour , séparées par et .
Il y a une racine simple supérieure à , ainsi que la racine double pour .
Il y a une racine simple supérieure à et inférieure à pour .
etc...

Mais dans chacun de ces intervalles, je ne pense pas qu'il soit aisé de trouver une solution approchée.
Une piste : si est très grand, alors les solutions sont au voisinage de , avec , en négligeant le sinus. Les solutions sont elles-mêmes grandes, et donc on peut linéariser la courbe en posant .
L'équation devient alors, après calcul : , c'est-à-dire .
On est donc amené à calculer les intersections d'une sinusoïde avec une droite.