gentil problème de géométrie

[invitebf588c82]

Bonsoir,
Voilà un gentil problème de géométrie:
Soit un grand cercle de rayon R
Combien de cercles de rayon R/a (a>0) peuvent tenir dans le grand cercle??
Et ensuite quel est le rayon d'un petit cercle.
Bon courage à vous
-----

[DarK MaLaK]

Salut, je dirais une infinité (avec a>1 pour ne pas déborder) mais je crois que je n'ai pas compris la question.

[invitebf588c82]

Hum je reformule
la question c'est pour un nombre fixé a>0, quel est le plus grand nombre de cercles de rayon R/a on peut mettre dans un cercle de rayon R??

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonsoir,

Notons un Cercle de rayon R, les cercles risquent d'être tangents
donc leurs centres seront dans un (centré comme )

Considérons le triangle équilatéral inscrit dans il aura donc pour hauteur donc comme côté (sauf erreur de calcul, vérifie bien !! )

Cherche combien l'on peut placer de cercles sur son périmètre, peut être que ça t'aidera, tout cela en considérant (sans réelle preuve) que un empilement de cercle dont les centres sont situé aux sommet d'un pavage de triangles équilatéraux de coté R/n doit être le plus compact.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf588c82]

Bonjour,
Oui je crois que je suis parti sur la même idée mais sans le triangle... mais j'arrive à des résultats incohérents pourtant je pense que la méthode n'est pas mauvaise
1. je partage mon cercle en plusieurs cercles concentriques distants de 2R/a voir déssin:
2. Je calcule l'air de chaque anneau
3. Je calcule le nombre de petits cercles qui tiennent dans chaque anneau
4. Le nombre d'anneaux possible dans le cercle est a

Bien sûr ça ne fonctionne que pour a pair.
La méthode vous paraît-elle bonne??
J'ai recommencé plusieurs fois mais la suite que je trouve est fausse.
Help!---autres méthodes??

[RoBeRTo-BeNDeR]

Ben çà a l'air pas mal ta technique, raisonnons plutôt en hexagones concentriques, plutôt en couronne hexagonale comme l'explique mon dessin,

Pour une couronne hexagonale telle que ses lignes droites de cercle contiennent N>1 cercles alors elle contient 6(N-1) cercles,

donc pour n entier impair on peut stocker exactement :



Ceci dit il y a une erreur dans le calcul précédent mais je ne la voit pas, çà devrait aboutir sur presque la même chose à 2 près :
avec n impaire,

le cas n pair à l'air moins simple.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Je viens de trouver l'erreur, l'expression de départ est plutôt (si je ne me trompe pas) :

[Eurole]

Bonjour à tous.
Je n'ai pas le niveau pour suivre le raisonnement algébrique, mais cette discussion m'a attiré par son thème géométrique.
Ne sachant généraliser la solution, j'ai créé un cas: un cercle de rayon 10 dans lequel je case des cercles de rayon R/a=3.
Je peux en caser 8.

Comment l'expliquer ?

Pardon si ma question n'est pas à sa place.

[Eurole]

Ben çà a l'air pas mal ta technique, raisonnons plutôt en hexagones concentriques, plutôt en couronne hexagonale comme l'explique mon dessin,
Pour une couronne hexagonale telle que ses lignes droites de cercle contiennent N>1 cercles alors elle contient 6(N-1) cercles,
…

Si on part du centre la progression est
1
6=2+4.1
12= 3+4.2
18=4+4.3+2
24=5+4.4+3
30=6+4.5+4
..

Mais si on part de la circonférence du cercle on peut tomber dans l'impair.

[invitebf588c82]

Je viens de trouver l'erreur,

Je ne vois pas pourquoi c'est une erreur si tu arrête la somme à ((n-1)/2)+1 tu as un nombre impair de couronne hexagonale.
C'est un effet visuel ou j'ai l'impression que c'est plus compacte avec ta technique?
Pour le cas pair la technique des cercles concentriques s'y prête bien.

@Eurole
tu veux dire si les petits cercles sont sur la circonférence du grand cercle??

[RoBeRTo-BeNDeR]

jazzyboak, ma technique est semblable à celle des cercles circoncentriques sauf que c'est à peine plus compact, comme les maille hexagonale sont les plus compacte en cristalo si je ne me trompe pas, celle-ci doit être la technique la plus compacte pour faire unb pavage de cercle,

pour Eurole, tu as un cerlce de rayon 10 dans lequel tu souahite mettre des cercle de rayon 3,
A=100 Pi et a=9 Pi donc on ne peut pas mettre plus de 11 cercles, c'est certain.

pour un cercle en compactant au maximum on est obligé de céder un petite propostion (la sorte de triangle à coté arrondis au milieu de 3 cercles tangents)

pour un cercle de rayon R on perd 2 fois la petite zone qui est d'aire ^

donc par cercle , donc pour loger des cercles de rayon 3 dans un cercle de rayon 10,


=36.068 à près

à près
or

donc avec l'empilement le plus compact possible on ne peut pas en mettre plus que 8 et il reste une portion d'aire de

Ne pas prendre çà comme une démonstration mais comme une explication qui je l'espère aura eu le bon goût d'être simple car à aucun moment on ne prend en compte le fait que le cercle de rayon 10 soit un cercle, par ailleurs ce surplus d'aire montre bien que l'on peut placer plus ou moins espacés les cercles dans
votre grand cercle.

RoBeRTo

[Eurole]

jazzyboak, ma technique est semblable à celle des cercles circoncentriques sauf que c'est à peine plus compact, comme les maille hexagonale sont les plus compacte en cristalo si je ne me trompe pas, celle-ci doit être la technique la plus compacte pour faire unb pavage de cercle,
pour Eurole, tu as un cerlce de rayon 10 dans lequel tu souahite mettre des cercle de rayon 3,
A=100 Pi et a=9 Pi donc on ne peut pas mettre plus de 11 cercles, c'est certain.
pour un cercle en compactant au maximum on est obligé de céder un petite propostion (la sorte de triangle à coté arrondis au milieu de 3 cercles tangents)
pour un cercle de rayon R on perd 2 fois la petite zone qui est d'aire ^
donc par cercle , donc pour loger des cercles de rayon 3 dans un cercle de rayon 10,

=36.068 à près
à près
or
donc avec l'empilement le plus compact possible on ne peut pas en mettre plus que 8 et il reste une portion d'aire de
Ne pas prendre çà comme une démonstration mais comme une explication qui je l'espère aura eu le bon goût d'être simple car à aucun moment on ne prend en compte le fait que le cercle de rayon 10 soit un cercle, par ailleurs ce surplus d'aire montre bien que l'on peut placer plus ou moins espacés les cercles dans
votre grand cercle.
RoBeRTo

Merci RoBeRTo.
Si le grand cercle était de diamètre 9 et les petits cercles de diamètre 3, je pense qu'on peut y caser 7 petits cercles, ce qui en fait une curieuse propriété du nombre 7.
Mais je ne sais pas le démontrer.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Pour Eurole,

je ne suis pas adepte des démonstration en géométrie mais je pense que celle là est simple,

Soit C un cercle de rayon 9, considérons l'hexagone H régulier convexe tel que le cercle C soit inscrit dans H et décomposons le en 6 triangles équilatéraux formés par les diagonales opposées de H.

Prenons les cercles inscrits dans les triangles rectangles,ils sont de rayon 3.

Explication : On sait que le centre du cercle inscrit d'un triangle équilatéral se situe à 1/3 de la hauteur, donc r=1/3.h or la hauteur de ce triangle est un rayon de C, donc h=R d'ou r=9/3=3

or "On sait que le centre du cercle inscrit d'un triangle équilatéral se situe à 1/3" donc le cercle inscrit est à une distance de 1/3.h du centre du cercle soit 3 donc on peut insérer un dernier cercle au centre, soit avec les 6 triangles équilatéraux qui contiennent chacun un cercle inscrit et le cercle central le comte est bon.

[Eurole]

Merci pour cette démonstration lumineuse de simplicité, qui n'était chez moi qu'une intuition.

Le Temple des nombres est un mystère.