f(P)(X)=P(X)-P(X-1)

[gus910]

bonjour,

je ne comprends pas cet exercice

On désignera par E l'espace vectoriel lR[X] des polynômes à une indéterminée à coefficients réels,et par F le sous espace vectoriel de E des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.

on considère l'application f qui à tout élément P de E associe le polynôme f(P) défini par , et on note la restriction de F à F.

pour la base (1,X,X²,X³)
alors


pour moi
[f(P)](1)=1-(1-1)=1
mais la réponse est [f(P)](1)=0
P(1)=0 ou P(1)=1?

et je ne vois pas pourquoi merci.
-----

[pi-r2]

pour moi
[f(P)](1)=1-(1-1)=1
mais la réponse est [f(P)](1)=0
P(1)=0 ou P(1)=1?

et je ne vois pas pourquoi merci.

Parce que tu confonds "1" le polynôme constant 1(X)=1
et "1" la valeur de X.
f(1)(X)=1(X)-1(X-1)=1-1=0
gymnastique pénible.

[gus910]

ah ok donc X représente quoi?

[invitef707e9ad]

Je vais peut etre dire une bêtise, mais c'est peut etre parce que 1 est une constante, donc ne dépend pas de X

[A voir en vidéo sur Futura]

[pi-r2]

alors

D'ailleurs à la relecture de ça:
f(P)(X^3)=P(X^3)-P(X^3-1) et on ne peut pas aller plus loin sans connaitre P
Ton calcul c'est f(X^3)(X), avec la notation malheureuse de X pour variable et écriture du polynome.

[gus910]

la suite donne
On considère la famille()des polynômes de E définies par et avec 0 racine de.

=X
=X(X+1)
=X(X+1)(X+2)

pouvez vous m'expliquer comment on calcule ?

[pi-r2]

le degré de f(P) est 1 de moins que le degré de P.(à démontrer)
f(A1)=1=A1(X)-A1(X-1)
0 est racine de A1.
A1(X)=X

[gus910]

f(A1)=1=A1(X)-A1(X-1)

0 est racine de A1.

donc A1(0)=0?

comment on déduit
A1(X)=X
?

[pi-r2]

f(A1)=1=A1(X)-A1(X-1)



donc A1(0)=0?

comment on déduit
A1(X)=X
?

par le fait que A1 est de degré 1.

[Médiat]

Attention, dans le message #1, l'image du polynôme X est fausse.

Pour résoudre, d'une façon générale, vous pouvez utiliser l'image d'une base (ce que vous avez fait à la question 1). Et comme cette méthode ne vous permettra pas de déterminer de façon unique la constante du polynome source (l'application f n'est pas injective), c'est l'information A_i(0) = 0 qui vous permettra de conclure.

En effet, l'affirmation de pi-r2 "par le fait que A1 est de degré 1", n'est pas justifiée tant que ce n'est pas démontré.

le degré de f(P) est 1 de moins que le degré de P.(à démontrer)

[invite57a1e779]

Bonjour,

Tout ceci est faux !

Dans la formule
– ou on remplace par , et on obtient : ;
– ou on remplace par , et on obtient : .

De même pour les autres.