Hélène et les complexes

[invite6f0362b8]

Bonjour

J'ai une petite question,par simple curiosité:

si z est une nombre complexe, est ce que j'ai le droit d'écrire ln(z) ?
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[mimo13]

Salut,

On ne peut pas définir un logarithme complexe tout en préservant les propriétés algébriques de la fonction logarithme naturelle.

Lien.

[taladris]

Oui et non. Ou plutôt: oui mais en faisant très attention.

Ce qu'on veut faire, c'est prolonger la fonction exponentielle, définie sur , sur (ou sur une partie de , la plus grande possible) tout en conservant ses propriétés. Notamment, on voudrait que si , on ait . Malheureusement, l'écriture d'un complexe sous forme exponentielle n'est pas unique et donc ln(z) est une "fonction" qui peut prendre plusieurs valeurs en un point.

Cependant, si on se restreint à des sous-ensembles de , il est possible de se donner une convention sur le choix d'un argument de z (c'est l'argument "principal" de z). Par exemple, si z est un nombre complexe qui n'est pas un nombre réel négatif ou nul, alors z s'écrit de manière unique sous la forme , avec . On définit alors . Avec cette convention, on a une fonction bien définie, sur le plan complexe privé d'une demie-droite.

Bien sûr, on peut se fixer d'autres conventions (choisir l'argument dans un autre intervalle, en choisissant une autre demi-droite) et donc il y a plusieurs logarithmes pour les nombres complexes.

Plus, généralement, un logarithme sur un ouvert U de est une fonction holomorphe sur U vérifiant exp(ln(z))=z pour tout z dans U. On sait que deux fonctions holomorphes définies sur un ouvert U connexe diffèrent d'une constante, qui est un multiple entier de . Note aussi qu'un logarithme n'est jamais défini en 0 (puisque l'exponentielle complexe n'est jamais nul).

[invite6f0362b8]

Merci
c'est exactement ce que je cherchais à savoir

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

Précision:

Cependant, si on se restreint à des sous-ensembles de , il est possible de se donner une convention sur le choix d'un argument de z (c'est l'argument "principal" de z). Par exemple, si z est un nombre complexe qui n'est pas un nombre réel négatif ou nul, alors z s'écrit de manière unique sous la forme , avec . On définit alors . Avec cette convention, on a une fonction bien définie, sur le plan complexe privé d'une demie-droite.

On pourrait définir un logarithme sur en posant , pour , avec . Mais la fonction obtenue n'est plus continue.