Determinant

[invitecbade190]

Salut à tous,
Je bloque sur l'exo suivant :
Soit l'espace vectoriel des matrices carrées muni de la base : tel que pour tous : est la matrice dont tous les coefficients sont nuls excepté le coefficient situé à l'intersection de la -ème ligne, et la -ème colonne.
J'ai réussi à montrer que avec : est le cofacteur correspondant à .
En effet :
A partir de l'exemple suivant, on peut comprendre le principe :
Par exemple :

Et ça :

Maintenant, il faut montrer que :
est majorée par lorsque et est une quantité qui ne dépend pas de ?
Vous pouvez m'aider pour ce problème car, je n'arrive pas seul à le faire ?
Voiçi ce que j'ai fait moi :
A l'aide de l'exemple suivant avec :

Donc, si on generalise l'idée , on trouve :

Or, on vient de me dire que c'est faux et que c'est à cause du determinant qu'il faut reviser les notions de base, j'ai lu et relu plusieurs fois le cours sur les determinants sans trouver d'erreurs, je suis presque atteint par une crise paranoiaque à cause de cette multitude de revisions que j'ai effectué sur les determinants mais sans eceler encore d'erreurs . Vous pouvez me montrer où il y'a erreur ? pouvez vous me montrer ce qu'il faut faire ?
MErci d'avance.
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[KerLannais]

Salut

Quand tu écris tu es sûr que c'est ce que tu veux écrire, le déterminant des cofacteurs (ce sont des scalaires) tu es sûr que tu ne confonds pas le cofacteur avec la sous-matrice?

[invitecbade190]

A partir de cet exemple, il me semble que oui :

[invitecbade190]

le cofacteur et le determinant de la sous matrice. où est le problème ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

D'accord, je comprends bien maintenant !
D'accord, donc il y'a problème dans les notations !

[KerLannais]

Je te rassure ta démarche est la bonne. Par contre il me semble que dans l'énoncé il faut lire ne dépend que de sinon c'est faut à partir de . Tu peux remarquer que par exemple dans le cas le reste est une fonction linéaire de non nulle (lorsque est fixé non nul tel que ) et donc elle ne saurait être borné par une constante comme toute fonction linéaire non nulle qui se respecte

[invitecbade190]

Merci beaucoup KerLannais
Pour ne pas confondre cofacteur et sous matrice, on note desormais, la sous matrice de placée en dehors de la ligne et colonne passant par le coefficient
Donc, et ( cofacteur au coefficient ) n'est pas la même chose.
Par conséquent :

[KerLannais]

Il te reste donc à estimer le reste


pour cela il faudra séparer complètement le et le et donc continuer ton développement, par contre les notations risque de devenir lourdingues la constante est alors une somme de déterminants de sous-matrices de qui ne dépend que de . Tous les doivent être bornés par sauf un qui reste en facteur et qui donne le . On comprend intuitivement le résultat, mais pour l'écrire c'est une autre paire de manche