L'existance du plus petit élémebnt d'une partie de N

[invite7553e94d]

Bonjour à tous.
Je m'intéresse à l'existance du plus petit élément d'une partie de et me demande comment (par quoi, un axiome, une démonstration ...) cette existence est assurée.

Pourriez-vous me donner un petit coup de main ?

Merci.
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[Seirios]

Bonjour,

Si l'on revient à l'axiomatique de Peano, il faut souvent utiliser le raisonnement par récurrence : il existe nécessairement k tel que est dans la partie, mais telle que n'y est pas (si ce n'était pas le cas, par récurrence on obtiendrait que la partie est vide) ; en revenant à la définition de l'ordre sur , on remarque alors que est le minimum de la partie.

[Médiat]

il existe nécessairement k tel que est dans la partie, mais telle que n'y est pas

L'idée est la bonne, mais l'explication non, {0} est bien une partie de IN mais qui en vérifie pas cela.

[Seirios]

Il faut donc distinguer les cas où 0 appartient à la partie (ce qui est évident dans ce cas, puisque 0 n'est pas le successeur d'un élément), et le cas où il n'appartient pas à la partie (ce qui revient à ce que j'ai dit) ; j'ai passer ce passage sous silence dans mon précédent message...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

En relisant la démonstration du message #2, je me rend compte qu'il y a un autre problème : il n'y a aucune raison que soit le plus petit élément de la partie (désignée par ci-dessous), il suffit de prendre la partie {1, 2, 3, 5}. 5 n'est pas le plus petit élément de . Et si on travaille dans un modèle non standard de IN, la notion même de n'a pas forcément de sens (ça marche quand même, mais il faut invoquer un autre théorème assez fort).

Je vous propose une autre démonstration basée sur Peano :
Soit P la proposition suivante :

Si est fausse, alors , et 0 est bien le plus petit élément

Si est vraie et est vraie aussi alors est vraie, c'est à dire que est vide

Si est vraie et est fausse aussi alors est vraie, c'est à dire que tous les éléments inférieurs ou égaux à n ne sont pas dans , mais est dans , c'est à dire que est bien le plus petit élément de .


Une démonstration qui se base sur ZF serait encore plus simple, puisque par définition (c'est à dire IN) est un ordinal, c'est à dire un bon ordre.

[invite7553e94d]

Si est fausse, alors , et 0 est bien le plus petit élément

Bonjour Médiat et merci de ton aide. Il y a un point qui me turlupine néanmoins dans la phrase que j'ai citée. Sauf erreur de ma part (j'utilise la barre pour noter la négation -- pas de \lnot),


Comment peux-tu en déduire que ?

[Médiat]

Salut, cela faisait longtemps que je ne t'avais pas vu .



Or le seul m qui soit inférieur ou égal à 0 est 0.

[invite7553e94d]

En effet, je ne sais pas où j'avais la tête ce matin.
Merci beaucoup pour ton aide. Et je devrais réapparaitre plus fréquemment sur ces forums, je me plonge dans la topologie en amateur et je pense rencontrer quelques dificultés prochainement

Bonne journée.

[Médiat]

Une petite remarque en passant : la démonstration ci_dessus montre sur un exemple (mais la généralisation est évidente) que la récurrence "forte", n'est rien d'autre qu'une récurrence normale, et qu'elle n'a donc aucun pouvoir démonstratif supérieur à celui de cette dernière.

[Seirios]

Finalement mon ébauche de preuve n'était effectivement pas correcte...J'aimerais cependant avoir quelques précisions sur ce point :

Et si on travaille dans un modèle non standard de IN, la notion même de n'a pas forcément de sens (ça marche quand même, mais il faut invoquer un autre théorème assez fort).

[Médiat]

Bonsoir,

Vous posez une question de fond à laquelle je peux répondre en quelques mots, mais qui mériterait d'être développée.

Lorsque vous écrivez , vous utilisez une notation ambiguë, en effet, que représente le "n" dans cette notation ? Ce n'est pas un élément de IN, mais une abréviation pour , avec le bon nombre de , et en tout état de cause, vous ne pouvez atteindre de cette façon que les éléments standard d'un modèle, s'il s'agit du modèle standard, cela marche, mais sinon, il peut exister d'autres éléments, or vous avez bien placé votre démonstration dans le cadre de l'axiomatique de Peano (excellente initiative), et non dans un modèle particulier, elle doit donc fonctionner pour tous les modèles. Vous remarquerez que ma démonstration ne fait appel qu'à des notions de base de l'axiomatique de Peano, et qu'à aucun moment je n'utilise des entiers mêmes naïfs.