[definition] Dimension d'une partie de R^n

[invitef72e0b9f]

Salut,

Aux oraux des ENS, on m'a demandé de donner une definition de la dimension d'une partie de . J'ai vaguement essayé de bredouiller quelque chsoe, mais le jury n'avait pas l'air vraiment satisfait, puis, on est passé à autre chose.
Après coup, j'ai repensé au truc et je pense que ça devrait être un truc du genre qu'il existe un homéomorphisme entre ladite partie et . La dimension est alors
C'est ça, ou je suis completement à coté de la plaque ?
-----

[invitedf667161]

Ca peut être ça, il y aussi une notion de dimension topologique, qui coincident toutes avec la dimension algébrique lorsque la partie est un SEV de R^n.

[invited5b2473a]

Ca ne pourrait pas être la dimension de l'espace engendrée par cette partie?

[invitef72e0b9f]

Malheureusement non. Par exemple, dans , la sphere unité est de dimension 2. (Ou plutot, on veut que la sphère unité soit de dimension 2, pour notre définition de la dimension). Or le sous espace engendré est precisement .

Ils m'ont aussi donné l'exemple d'un "nuage de point" qui est de dimension 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Dimension

[invite986312212]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Dimension

mais c'est bizarre, il est question dans cette page de la dimension comme d'une propriété globale, alors que j'avais l'impression que c'était plutôt une propriété locale. Si la partie de R^n est la réunion d'un plan et d'une droite non incluse dans ce plan, est-ce qu'on ne peut pas dire que sa dimension est 1 ou 2 selon les endroits?

[invitedf667161]

Si bien sur, mais à ce moment ce n'est pas ce que l'on appelle une sous variété de R^n.

[invite986312212]

Si bien sur, mais à ce moment ce n'est pas ce que l'on appelle une sous variété de R^n.

mais la question porte sur "une partie de R^n".
Autre question qui me vient à l'esprit: la dimension de Hausdorff n'est pas entière, je suppose qu'on peut la définir localement. Est-il possible de trouver une partie de R^n dans laquelle la dimension de Hausdorff en un point varie continûment avec le point?

[invitedf667161]

Je pense que la question était volontairement assez vague.

On devait attendre du candidat qu'il sorte un peu toutes les définitions de "dimension" qu'il connaissait pour les parties de R^n.

[invitef72e0b9f]

A propos de la dimension toplogique :

De manière générale elle attribue à un ensemble usuel sa dimension intuitive qui est le nombre de variables indépendantes nécessaire pour le décrire.

Cette définition (que j'ai d'ailleurs proposé pendant mon TIPE) n'est pas vraiment satisfaisante. En effet, on peut décrire avec . Donc il faut une condition supplementaire, mais je ne sais pas trop laquelle...

[inviteab2b41c6]

Je ne comprend pas trop ce que tu veux dire...

[invite986312212]

A propos de la dimension toplogique :



Cette définition (que j'ai d'ailleurs proposé pendant mon TIPE) n'est pas vraiment satisfaisante. En effet, on peut décrire avec . Donc il faut une condition supplementaire, mais je ne sais pas trop laquelle...

la définition en question, quoique vague, c'est bien celle de coordonnées locales, i.e. de carte, i.e. de variété. La condition à laquelle tu fais allusion, c'est une forme de régularité, qui s'exprime par le fait que la carte doit être continue ou différentiable ou analytique, etc.