Bonjour,
voila je bloque sur cette exercice.
On a une equation différentielle a coefficient constant de la forme y'' + ay' + by = f(x).
On sait que les deux fonctions suivante sont solutions de l'equation :
f1(x) = -4exp(12x) -2x exp(12x) + 3x,
f2(x) = 3x -5exp(12x) + 6x exp(12x)
Trouvez a, b et f(x).
j'ai bidouillé tout ça, mais je vois pas ou tout ca mène donc j'en appelle a vous.
Merci
Tu peux y aller bestialement en calculant f'1 , f"1, etc... et en identifiant.
Tu calcules la somme f"1 + a f'1 + b f1 qui donne des termes en exp(12 x) , en x exp(12x), en x et constante.
Là, tu tombes sur un os : comment identifier avec f(x) ?
Le problème, c'est que la solution n'est pas unique : si on ajoute à f1 ou f2 une solution particulière de l'équation sans 2ème membre, ça donnera le même f(x).
Le plus simple est alors de dire arbitrairement que les termes en exp(12x) et x exp(12x) de la somme f"1 + a f'1 + b f1 sont nuls. Pareil pour f2.
Là, tu calculeras "aisément" a et b.
Mais on peut être plus astucieux, en remarquant qu'une équation différentielle linéaire a pour solution la solution générale de l'équation sans 2ème membre + une solution particulière.
La solution de l'équation sans 2ème membre est en général la somme de 2 exponentielles, mais ici, il n'y en a qu'une, alors qu'il y a des termes en x exp(12x). Ca fait penser au cas d'une racine double qui vaut 12 : les solutions sont alors exp(12x) et x exp(12x).
Donc a et b sont les racines de l'équation du second degré qui a 12 pour solution, donc a = -24 et b = 144
3 x est alors une solution particulière donc f(x) = 3.144 x - 72
Peut-être un peu subtil, tout ça, mais tu vois qu'on peut le faire de tête.
Merci jean paul, je comprends mieux.
Par contre pour f(x), je vois pas trop...
Une fois que tu as a et b, tu écris que 3 x est solution de l'équa diff et ça donne f(x)
y" - 24 y' + 144 y = f(x) quand y = 3 x
y' = 3 et y = 3 x
Donc f(x) = 432 x -72
ok merci pour votre aide. bonne soirée
