Demontrer qu'un robot suit une trajectoire circulaire.

[dragoon76p]

Bonjour,

Pour des calculs odométriques dans le cadre de la coupe de France de robotique, je cherche à démontrer rigoureusement que deux trajectoires qui sont parallèles et dont les vitesses sont constantes sont nécessairement circulaires.

Formellement:
Soit T1(t)=(x1(t),y1(t)) et T2(t)=(x2(t),y2(t)), T1,T2 dans R² telles que:
-pour tout t (x2(t)-x1(t))²+(y2(t)-y1(t))²=c (parallèle)
- pour tout t x1'(t)²+y1'(t)²=v1² et x2'(t)²+y2'(t)²=v2² (vitesse constante)

démontrer que si V1!=v2 alors les trajectoires sont circulaires

Malheureusement mes calculs acharnés ne donnent rien avez vous une idée?

Merci d'avance
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

pour ma part si ils partent en lignes droites parallèles à vitesse constante çà rentre dans le cadre de votre étude (si V1=V2) à mon avis pour que ce soit circulaire il faut que les vitesses soient différentes et constantes non?

RoBeRTo

[prgasp77]

Bonjour, pour quelle école cours-tu ?

Concernant ton problème, je pense que tu n'es pas parvenu à démontrer ce que tu souhaitais car il manque des contraintes. Tout ce que tu peux dire actuellement, que v₁ égale v₂ ou non est que les points T₁ et ₂ sont à distance constantes.

Un conseil : passe en coordonnées polaires

[prgasp77]

À y réfléchir de manière pratique, T₁ et T₂ sont peut-être les roues du robot, et peut-être ont-elles une contraintes de parallélisme ou quelque chose du genre ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[dragoon76p]

Oui il s'agit des deux roues du robot. Je suis dans l'équipe de l'insa de rouen. (et toi?)

Si V1=V2 la trajectoire doit être rectiligne.
Si V1!=v2 la trajectoire doit être circulaire.

Je suis quasiment sur qu'il ne manque pas de contraintes pour que ca soit vrai. Je vais continuer à reflechir à cette demonstration.

[dragoon76p]

ps: enfin bien sur les courbes doivent être dérivables mais c'est implicitement dit dans la contrainte des vitesses constantes.

[invite986312212]

message supprimé (élucubration)

[NicoEnac]

Bonjour,

Si V1=V2 la trajectoire doit être rectiligne.

Non. Imaginez 2 voitures se déplaçant à la même vitesse constante et suivant exactement la même trajectoire mais décalée de 10 mètres (par exemple un slalom entre des plots). La distance les séparant est constante, leurs vitesses sont égales et constantes. Et pourtant leurs trajectoires ne sont pas rectilignes.

Mathématiquement, cela voudrait dire qu'avec les équations que vous avez fournies on peut prouver que y₁/x₁ est une constante ainsi que y₂/x₂

[invite986312212]

moi aussi j'avais pensé à ça (avec une barre rigide plutôt que deux voitures) mais en fait si tu y réfléchis tu verras que les deux voitures ne peuvent pas en général simultanément rester à la même distance l'une de l'autre et rouler à vitesse constante. C'est possible en ligne droite et sur une courbe circulaire, et peut-être pour d'autres courbes, mais il faut le prouver.

[NicoEnac]

Edit : "Mathématiquement, cela voudrait dire qu'avec les équations que vous avez fournies on peut prouver que y'₁/x'₁ est une constante ainsi que y'₂/x'₂ "

[NicoEnac]

moi aussi j'avais pensé à ça (avec une barre rigide plutôt que deux voitures)

Très bien, alors imaginons que je vous donne cette barre et vous ordonne (parce que j'aime bien commander ) de la faire bouger avec comme contrainte : ne pas la déformer (distance entre les 2 bouts constante, première équation) et chaque bout de la barre doit avancer à la même vitesse (deuxième équation). Vous pouvez bouger comme bon vous semble, la seule contrainte est qu'elle ne doit pas tourner sur elle-même en même temps qu'elle translate mais vous pouvez la translater comme vous voulez et suivre une trajectoire quelconque.

[NicoEnac]

Rerererere,

Cette "expérience" avec la barre prouve qu'il manque quelque chose dans les équations (ce que vous aviez bien compris...on retombe sur nos pattes).

Traduire "trajectoire parallèle" par "la distance entre les 2 points est constante" est réducteur il me semble. Personnellement je dirais (mais ça n'engage que moi) :
"les vecteurs vitesses sont de même norme et perpendiculaires au segment [M₁M₂] (de coordonnées respectives (x₁,y₁) et (x₂,y₂))

[invite986312212]

Traduire "trajectoire parallèle" par "la distance entre les 2 points est constante" est réducteur il me semble.

c'est clair. Il suffit de regarder un skieur nautique slalommer à distance constante d'un bateau.

Personnellement je dirais (mais ça n'engage que moi) :
"les vecteurs vitesses sont de même norme et perpendiculaires au segment [M₁M₂] (de coordonnées respectives (x₁,y₁) et (x₂,y₂))

ça c'est trop demander: par exemple deux points d'un même cercle peuvent tourner à vitesse constante et rester à distance constante, mais ta condition implique qu'ils soient diamétralement opposés alors que ça n'est pas nécessaire.

[dragoon76p]

Non. Imaginez 2 voitures se déplaçant à la même vitesse constante et suivant exactement la même trajectoire mais décalée de 10 mètres (par exemple un slalom entre des plots). La distance les séparant est constante, leurs vitesses sont égales et constantes. Et pourtant leurs trajectoires ne sont pas rectilignes.

Dans ton expérience les vitesse des voitures ne sont pas du tout constante, dans les virages l'une ou l'autre des voiture prend successivement une vitesse plus grande que l'autre, au même titre que dans une course à pied celui qui est à la corde parcours moins que celui qui est exentré...

Deplus si deux trajectoires sont paralléles alors leurs tangantes (vecteurs vitesses) sont parralléles... ( il ne manque rien de ce coté)

Je commence à avancer dans la demonstration dans le cas ou V1=V2, qui est plus simple, je posterais ca quand j'aurais fini.

[invite986312212]

un contre-exemple: prends les courbes y=sin x et y =sin (x+c). Elles sont parallèles mais ni rectilignes ni circulaires. Il suffit de trouver la transformation t -> x(t) tel que le mobile T1(t)=(x(t), sin(x(t))) ait une vitesse constante (en norme) <j'ai la flemme d'écrire l'intégrale en question> et alors le mobile T2(t)=(x(t)-c, sin(x(t))) aura un déplacement à vitesse constante et à distance constante (égale à c) de T1(t)

[dragoon76p]

Il suffit de trouver la transformation t -> x(t) tel que le mobile T1(t)=(x(t), sin(x(t))) ait une vitesse constante

Cette transphormation qu'elle qu'elle soit ne concerveras pas le parrallélisme...
Car le parallelisme que j'ai définit et un parallélisme temporel, il ne suffit pas que les dessin des courbes soit parralléle, il faut aussi que au temps t, T₁(t) et T₂(t) soient equidistants et non T₁(t) equidistante avec un T₂(t₀) t₀!=t

[dragoon76p]

ps: escuse moi ce que je viens de dire est faux, je réflechis à ton contre-exemple

[NicoEnac]

Dans ton expérience les vitesse des voitures ne sont pas du tout constante, dans les virages l'une ou l'autre des voiture prend successivement une vitesse plus grande que l'autre, au même titre que dans une course à pied celui qui est à la corde parcours moins que celui qui est exentré...

Ce n'est absolument pas la même chose. Un coureur à la corde tourne autour du même point que le coureur excentré alors que deux voitures effectuant le même slalom (la même trajectoire) mais décalé l'un par rapport à l'autre non.

Mon exemple de voitures peut être traduit par l'exemple d'ambrosio sauf que y = sin(x) + c au lieu de y = sin(x+c).

Je me suis sans doute mal exprimé lors de mon exemple. As-tu déjà vu l'épreuve de slalom de snowboard aux JO ? 2 snowboarders partent en même temps sur le même tracé (à peu près). Et bien imagine qu'il soit réellement identique, et que les 2 descendent à la même vitesse constante. Mon exemple avec les voitures était censé illustrer cela.

[dragoon76p]

Oui je pense que vous avez raison je pense qu'il faut ajouter:
les vecteurs vitesses sont perpendiculaires au segment [T1T2]
soit x1'(x2-x1)+y1'(y2-y1)=0.

Dans sinon, de retour dans le monde réel ca permetrait de tourner les deux roues en même temps alors qu'elles avances à vitesse constante...

Excusez-moi pour cette erreur, je vais essayer de demontrer ca avec cette nouvelle hypothése. Et merci de votre aide.

[NicoEnac]

deux points d'un même cercle peuvent tourner à vitesse constante et rester à distance constante, mais ta condition implique qu'ils soient diamétralement opposés alors que ça n'est pas nécessaire.

Certes mais leur trajectoire n'est pas parallèle à l'instant t. Attention je parle de parallélisme instantané et non pas de parallélisme de la trajectoire entière.

En effet, 2 points d'un cercle observent des trajectoires circulaires qui lorsqu'on les trace (ben ça donne le cercle en fait) sont bien parallèles. Cependant, en instantané on ne peut pas dire que les 2 points se déplacent de manière parallèle.

Je crois que je pars dans de bas délires mais je pense tenir le bon bout avec mon histoire de perpendicularité à [M1M2].

[dragoon76p]

En plus il semble que prendre l'hypothése
"les vecteurs vitesses sont perpendiculaires au segment [T1T2]
soit x₁'(x₂-x₁)+y₁'(y₂-y₁)=0 et x₂'(x₂-x₁)+y₂'(y₂-y₁)=0"
permet de se passer de l'hypothése que les trajectoire sont parralléles.

En effet ((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)'=2*(y₂(t)-y₁(t))*(y₂'(t)-y₁'(t))+2*(x₂(t)-x₁(t))*(x₂'(t)-x₁'(t))=0
Donc (x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²=c

Donc l'hypothése de perpendicularité des vitesses semble impliquer que les trajectoires soient parralléles, et si mes roues étaient accroché l'une à l'autre par un elastic ,il ne se deformeraient pas...

[prgasp77]

Bonjour à nouveau.
Me relisant, je me suis rendu compte que je m'étais mal exprimé. Dans le cas où les vitesses des deux points sont égales, il est évident que les trajectoires des deux points (roues) sont égales à une translation près (superposables).

Dans l'autre cas en revanche, sauf si à chaque instant v₁=kv₂, on ne peut pas dire grand chose des trajectoires.

Cordialement,