Equadiif et DSE

[invite3b50103a]

Bonsoir a tous,

Je bloque sur le début d'un problème et j'aurais besoin d'un coup de main, voici la question :

Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) xy'' + y' - xy =2 développables en serie entière au voisinage de 0. Préciser le rayon de convergence.

J'ai injecté f(x)=, j'ai fais des changement d'indice pour tout regrouper sous une meme somme et pour avoir un gros coefficient devant , j'obtient :



La je dois identifier les coeffs par uncité du DSE. Deja les calculs sont ils correct ? et ensuite j'ai du mal à identifier quoi avec quoi dans l'égalité.
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[invite3b50103a]

Personne ne peut m'aider ?

[inviteaf48d29f]

Bonsoir,
pourquoi commencez vous votre somme à n=1 ? Il peut y avoir aussi un terme constant dans votre fonction, je n'ai vu nul part qu'elle devait être nulle en 0.

Pour ce qui est de vos calculs, je vous laisse les vérifier, mais il me parait étonnant que vous fassiez apparaitre a_n-1 avec une somme commençant à n=1 alors que vous n'avez pas défini a₀.

Une fois que vous avez obtenu votre terme de gauche sous la forme d'un DSE vous l'identifiez au DSE que vous avez déjà à droite. Eh oui, vous avez 2 à droite, 2 est un polynôme, il est son propre développement en série entière.
La plupart des termes de votre somme de gauche seront nuls, ce qui devrait vous donner une relation de récurrence entre les a_n et vous permettre de trouver votre fonction.

P.S : N'oubliez pas le rayon de convergence.

[invite3b50103a]

Oui désolé c'est une erreur la somme commence pour n=0.
Justement écrire 2 comme un DSE ? désolé si la question semble bête ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf48d29f]

Bah

La plupart des termes sont nuls, mais bon une somme finie (d'un seul terme ici ^^) peut très bien être vu comme une somme infinie avec une infinité de termes nuls.

[invite3b50103a]

Donc a1=2 et le reste vaut 0 ?
Et pourquoi je ne dois pas trouver du ?

[inviteaf48d29f]

Si si, vous devez en trouver. Je disais juste que vous définissiez les a pour les indices allant de 1 à +∞ et que votre équation faisait intervenir a₀.
Votre calcul est donc nécessairement faux, je vous conseil de le recommencer proprement pour avoir un DSE correct de votre terme de gauche.

"Donc a1=2 et le reste vaut 0 ?"
Qu'entendez vous par "le reste" ? Si c'est tous les autres a_i, alors certainement pas.
Là je vous conseil d'écrire b₀=2, pour n>0 b_n=0
d'écrire votre équation sous la forme d'une égalité entre 2 sommes allant de 0 à +∞ et d'identifier proprement terme à terme.

[invite3b50103a]

dans le post j'ai écrit n=1 mais j'ai fait mes calculs pour n=0. Pour moi on alors :


( j'avais oublié de factoriser )
Est ce le cas ?

[invite3b50103a]

dans le post j'ai écrit n=1 mais j'ai fait mes calculs pour n=0. Pour moi on alors :


( j'avais oublié de factoriser )
Est ce le cas ?

[inviteaf48d29f]

Votre deuxième ligne n'est pas la forme factorisée du terme général de la somme que vous aviez écrit au début. Mais ça ne sert à rien de me demander si vos calculs sont justes, je ne les ai pas fait moi.

Il semble que vous teniez le principe. Il va maintenant vous falloir déterminer tous les a_n. C'est peut-être envisageable d'intuiter le résultat et de le montrer par récurrence.

[invite3b50103a]

Je viens de refaire a factorisation elle me semble bonne, Je vous demandez juste si l'identification était bonne pas mon calcul. Je vais essayer d'intuiter et je reviens si je ne trouve pas. Merci en tout cas de m'avoir aidé

[invite3b50103a]

Avec cette formule je ne peux calculer que les termes impairs. Et pour ce qui est d'intuité ça me parait assez difficile....