Représentation de so(3)

[invite84eba484]

Bonjour j'ai une petite question concernant mon cours sur les groupes.

Voila on étudie l'algèbre de SO(3), on construit l'ensemble complet des représentation de so(3) que le note J^s (analogie aux moments angulaire en quantique) .

Il est dit, que les représentation pour s entier sont vraie alors que celles pour s demi entier sont des rep a une phase prés, ce sont des représentations bivalué ???!!

Je comprend qu'en passant a l'algébre on a perdu de l'information, car la topologie de so(3) et différente de SO(3) mais pourquoi cette perte d'information se retrouve seulement dans les rep avec s demi entier ?
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[invite84eba484]

personne n'a de réponses ?

cela me gène un peu...

[invitebe0cd90e]

Salut,

C'est parce que SO(3) n'est pas simplement connexe (je pense que c'est ce que tu voulais dire en parlant de sa topologie). Son revetement universel (que vous les physiciens (et "nous" aussi sans doutes ) appelez Spin(3) si je ne m'abuse) est par definition simplement connexe, donc ses representations sont "les memes" que celles de son algebres de Lie. Or :
- par definition l'algebre de Lie de Spin(3) est encore so(3)
- le noyau du morphisme surjectif Spin(3) -> SO(3) s'identifie a Z/2Z={1,-1}.

Partant de la en esperant ne pas dire de betise : si tu prends une representation de so(3), ca te donne une representation de Spin(3), cad un morphisme de Spin(3) dans un certain GL(V). Ensuite, de deux choses l'une :

- soit l'element que j'ai noté -1 est dans le noyau de ce morphisme. Dans ce cas ca induit une representation de SO(3).
- soit -1 n'est pas dans le noyau, et donc on obtient pas vraiment une rep de SO(3), mais ce que tu appelles une rep "bivaluée".

Apres pourquoi exactement le coup des demis entiers, pour ca faudrait voir comment tu construis les J^s, mais mon petit doigts me dit que -1 doit etre envoyé sur un truc qui contient des qui donne bien 1 exactement quand s est entier.

[invite84eba484]

Salut et merci pour ta réponse, je crois que j'y vois un peu plus clair.

Mais euh jamais entendu parler de Spin3 ??!! Je crois (j'espere ne pas dire de bétise) que le revétement universelle de SO(3) est SU(2) non ? qui correspond effectivement au "groupes de spin".

D'accord pour le noyau du morphisme et tout et faut que je regarde mieux mais je serais pas étonné que ton petit doigt a raison, ça me parais cohérent et on use beaucoup d'exponentielle...

Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1e1a1a86]

SPIN(n) est le revêtement universelle de SO(n).

Il se trouve que SPIN(3)=SU(2)
mais ça ne marche plus pour n plus grand.

[invite84eba484]

D'accord merci pour la précision, on m'a jamais parlé de spin(n) mais bon je crois qu'en physique le plus important est spin(3)...

Merci bonne journée