Bonjour,
J'ai quelques difficultés à identifier la traduction anglaise d'un "Plan achevé" (qui relève par exemple de la theorie des fonctions").
Si C^=C U {∞} et d^=Distance cordale, alors:
Def. (C^,d^) est un plan de Gauss achevé, (plan achevé).
Je propose: "Complete plane", ou "achieved plane".
Je ne trouve que tres peu d'info sur le sujet. Si vous avez une traduction, merci d'avance.
thierry
Le principale problème, c'est que la terminologie "plan achevé" n'existe pour ainsi dire pas en francais... (il y a plusieur facon relativement naturelle de complété le plan en un espace compact en rajoutant des points à l'infinie... et aucun d'entre elle ne mérite plus que les autres le nom de plan achevé par exemple, tu peux rajouter un seul point à l'infinie, ou bien un point à l'infini pour chaque direction, ou encore un point à l'infini pour chaque direction+sens)
Complete plan serait une traduction absoluement horrible car le terme complete à déjà un sens précis (complet). donc le mieux si tu veux vraiment utiliser cette terminologie ca serait plutot "achieved plan". mais je te conseil plutôt d'en parler comme étant la sphère de Riemann ("Riemann sphere" du coup)
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere
http://fr.wikipedia.org/wiki/Sph%C3%A8re_de_Riemann
PS : pour traduire des termes technique, Wikipédia c'est encore ce qu'il y a de mieux je crois...
Edit : apparement, on parle aussi de "extended complex plane"
et "complex projective line" ? je pense que c'est la même chose en fait.
Pas facile en effet,
comme je declinais la notion, autour de la sphere de Riemann, je cherchais à trouver une traduction la plus proche du terme français, lui-même rare oui c'est sur. Je pense qu'il est surtout present en Allemand je crois.
Merci pour ces eclaircissements.
Thierry
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ci-joint un text qui necessiterait l'usage du latex.
Therefore, by the adjunction to C of an additional point, called point at infinity, and denoted ∞, it is then possible to compactify the locally compact topological space (cf. heading "One-point compactification, Alexandroff compactification" in "Compactness" in Topology). We will denote C=C∪{∞}. The topology of C (obtained by geometric construction - see infra) admits as induced topology on C the one defined by the distance d mentioned in the previous title.
The stereographic projection of the Gauss plane (C) on a sphere S whose diameter is the unity, tangent to C at 0, starting from the point A∈S diametrically opposite to 0, creates a bijective correspondence between C and S\{A}; S is called Riemann sphere (cf. 2^{nd} Fig. in heading "Riemann sphere, compactification]" in Construction of Number System). By convention we complete this bijection by ∞↔A. C is then in a bijective relation with S, by a bijection φ. The sphere S and the Gauss plane (C) are immersed in a 3-dimensional Euclidean space. The Euclidean distance d(z₁,z₂) of points z₁,z₂ of (C) is |z₁-z₂|. The distance of their homologous points P₁,P₂ is d(z₁,z₂)=((|z₁-z₂|)/(√((1+|z₁|²)⋅(1+|z₂|²)))) (cf. Fig. infra). The distance from A to P (image of z) is d(∞,z)=(1/(√((1+|z|²)))).
[sphriem001.png]
Fig. Plane of complex numbers, Riemann sphere, chordal distance. In this picture AP₁=h₁, AP₂=h₂, Az₁=ℓ₁, Az₂=ℓ₂, ℓ₁=√(1+|z₁|²), ℓ₂=√(1+|z₂|²). The triangles AOP and Az₁O are similar (right triangles with a same angle, the angle at A). We infer h₁=1/ℓ₁, i.e. h₁ℓ₁=1; and similarly h₂ℓ₂=1. The equality h₁ℓ₁=h₂ℓ₂ leads to h₁/h₂=ℓ₂/ℓ₁, meaning that both triangles AP₁P₂ Az₁z₂ are similar. We have then: ((d(z₁,z₂))/(|z₁-z₂|))=((h₂)/(ℓ₁))=(1/(ℓ₁⋅ℓ₂))=(1/(√(1+|z₁|²)⋅√(1+|z₂|²))), d(z₁,z₂)=((|z₁-z₂|)/(√(1+|z₁|²)⋅√(1+|z₂|²))).
The topology of C is the metric topology defined by the distance d, called chordal distance. The restriction of d to C defines the same open sets that the distance d. The distance d is bounded by 1, whereas the distance d is unbounded.
En effet, "Extended complex plane" est les plus adapté pour "plan achevé", je crois. MERCI.
thierry
