Relation d'équivalence - Exercice

[invitea105e18a]

Bonsoir,

J'ai besoin de votre aide car j'ai du mal à comprendre le corrigé d'un exercice:

Soit R la relation définie dans IR par la relation: xe^y=ye^x

Montrer que R est une relation d'éuivalence

=>bon alors symétrie et réflexivité ca, pas de problème. C'est pour la transitivité que ca va pas:

Corrigé
Soit x,y,z E IR tel que xRy et yRz.
on a xe^y=ye^x
et ye^z=ze^y, d'où

y(xe^z)=x(ye^z)

Et je comprends vraiment pas d'où ils sortent ça...

Toute aide sera la bienvenue, merci d'avance^^
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[invite57a1e779]

y(xe^z)=x(ye^z)

Bonjour,

Cette égalité est provient tout simplement de ce que la multiplication est associative et commutative :
y(xe^z)=(yx)e^z=(xy)e^z=x(ye^z).

[invitea105e18a]

Ca j'avais compris. Mon véritable problème c'est d'où sort y(xe^z) ????

[invitebe0cd90e]

Salut,

Cette egalité est vraie simplement parce qu'il y a la meme chose des deux cotés du signe egal, je ne vois pas ce qui te gene Ils n'utilisent aucune hypothese particuliere, ils regroupent simplement les termes pour faire apparaitre une expression. Ils disent juste que peut s'ecrire et aussi

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea105e18a]

Je sais j'ai comme qui dirait un léger problème avec les maths...
Le truc c'est comment à partir de

xe^y=ye^x
et ye^z=ze^y

on arrive à y(xe^z)

Après l'égalité je sais à quoi c'est dû mon seul problème c'est ce passage...ça sort pas de nulle part quand même ce serait pas le genre de la math sup

[invite57a1e779]

d'où sort y(xe^z) ????

De l'imagination de la personne qui a rédigé le corrigé.

[invitebe0cd90e]

Le truc c'est comment à partir de

xe^y=ye^x
et ye^z=ze^y

on arrive à y(xe^z)

ce que je t'ai dit c'est qu'on y arrive pas ! le "d'ou" de ton premier message est en trop. On regarde cette egalité qui est trivialement vrai, et on se rend compte qu'on peut y faire apparaitre des termes qui nous interresse.

[invitea105e18a]

Vraiment ???? Alors c'est juste ca, un peu du genre "fallait y penser" quoi...donc ça ne s'explique pas, en fait.
Si je me retrouve avec un truc dans ce style à mon prochain devoir surveillé je peux passer de mon hypothèse à ça sans rien justifier, tel que c'est fait dans le corrigé ?

[invitea105e18a]

Au fait j'aurais une autre question concernant un autre exercice:

Soit E un ensemble. Vérifier que R définie dans P(E) par

A R B <=> (A=B ou A=C_EB)

est une relation d'équivalence.

Si c'est une relation d'équivalence (ce que le sujet suppose), on a R symétrique, d'où
A R A <=>(A=A ou A=C_EA)

(enfin je crois)
C'est possible d'avoir ca ?

[invite61d256ed]

Attention la relation que tu donne est la réflexivité.

Et non A=CE(A) n'est pas possible (à moins que E soit l'ensemble vide)
car un élément ne peut à la fois être dans A et ne pas y être.
Le point important ici c'est que tu as un "ou" et non un "et" donc le simple fait d'avoir A=A rend l'assertion vraie.

[invitea105e18a]

Oups c'est vrai c'est la réflexivité, le pire c'est que je le sais faut que je fasse gaffe...
En tout cas merci tout ceci m'aide beaucoup !!!
Mais donc dans cet exo, on pourrait dire que la symétrie est évidente...non ?