Une drôle de limite ...

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai ici une étrange limite que je ne parviens pas à calculer :



Réponse :
Avez vous une idée sur la manière dont je dois m'y prendre ?

Moi :

1) J'ai essayé de simplifier l'expression, sans grand succes ...
2) J'ai essayé de faire apparaître : , etc. avec encore moins de succes ...
3) Je me suis dis que l'expression ci-dessus est peut être l'expression de la dérivée d'une certaine fonction ? Dans ce cas il suffirait de calculer f'(0). Mais je ne vois pas de quelle fonction il pourrait s'agire ...

Alors il reste la règle de l'Hospital mais je suis sensé y arriver sans elle, et d'ailleurs il faudrait dériver au moins trois fois de suite pour faire disparître le x³ ce qui serait fastidieux vu l'allure de la fonction ...

merci
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[invite5e34a2b4]

Essaie de voir ce que ça donne en remplaçant tan(x) par sin(x)/cos(x) et met en facteur le terme sous la racine.

[invited5b2473a]

tu multiplies par l'expression conjuguée et tu faits un DL, ça doit fonctionner!

[invite5e34a2b4]

Essaie de voir ce que ça donne en remplaçant tan(x) par sin(x)/cos(x) et met en facteur le terme sous la racine.

Désolé, j'ai raconté n'importe quoi !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

tu multiplies par l'expression conjuguée et tu faits un DL, ça doit fonctionner!

C'est quoi, un DL ?

Shokin

[invitedf667161]

Un DL c'est un développement limité, trés puissant pour étudier ce type de limite.

Exemple içi : DL à l'ordre 3 en 0:
sin(x)= x -1/6 x^3 + o(x^3)
tan(x)= x +1/3 x^3 + o(x^3)
sqrt(1+x) = 1 +1/2 x + o(x) un DL à l'ordre 1 va servir.

En mélangeant tout ça, faisant gaffe au petit o mais pas trop on obtient :



Et du coup la limte c'est 1/4 vu la définition des o

[erik]

C'est quoi, un DL ?

C'est un developpement limité, http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...nt_limit%C3%A9

[shokin]

Merci, pour vos réponses !

Shokin

[invite88e71a19]

[invitedf667161]

Trés joli travail minnolina

Quelques calculs et à la fin des limites "à connaitre" sinx / x --> 1 ; (1-cosx)/x^2 ---> 1/2.
Notez que toutes ces limites se montrent à l'aide de développement limités.

Bref, vous aurez compris ma façon de voir les choses : une fois qu'on a gouté aux développements limités pour calculer des limites, on ne peut plus s'en passer

[invite88e71a19]

Merci

Mais je veux remarquer que il n'y a pas besoin des DL pour ces 2 limites! Il y a une demonstration geometrique tres jolie, voir par exemple a cette page:
http://mcraefamily.com/MathHelp/Calc...nxOverxIs1.htm
(je n'en est pas trouvé de meilleur sur le web )

Personellement je ne veux jamais utiliser les DL parce que ca implique le concept de derivée et pour le calcule des limites il n'est pas forcement necessaire et il faut aussi savoir comprendre qu'est-ce que ca signifie cette approximation (si on utilise sans comprendre on tombe facilement dans des "pieges"). Bien evidemment un DL peut aider mais je ne le trouve pas pedagogique repondre a chaque question sur les limites avec "utilise un DL" ou "utilise Hopital", ou mieux, ca depend à quel niveau est posé la question. Par exemple en Italie on explique les DL seulement à la fac (et donc pas au lycee en general) et pas vraiment dans tous les fac (mathematiques, fisiques et ingenierie oui, mais pas exemple à biologie, farmacie... souvent en l'explique pas).

[Bleyblue]

Par exemple en Italie on explique les DL seulement à la fac (et donc pas au lycee en general)

Chez nous en Belgique non plus, on ne voit pas ça au lycée. Les DL je ne connais pas, et de toute façon j'étais sensé résoudre cette limite sans celles-ci
C'est bête de ma part de ne pas avoir pensé à mutipliser par le conjugé en fait ...

merci beaucoup à tous !

EDIT :

P.S :
[Hors sujet]

Agir au quotidien pour notre santé et POUR LA NATURE !

La NATURE doit être NOTRE PRIORITÉ !

Bravo !!!
Content de voir que l'état de la planète ne laisse pas tout le monde indifférent ...
[/Hors Sujet]

[invitedf667161]

J'aimerais tout de même savoir comment tu fais Beyblue pour (1-cosx)/x^2 quand x rend vers 0.

[Bleyblue]

Eh bien en fait je n'avais pas regardé la réponse de minnolina dans les détails.
Je me suis dit que j'allait y arriver tout seul ,mais visiblement, je suis de nouveau bloquer (et je n'ai pas la même chose qu'elle)

[Bleyblue]

Sinon ben c'est

(cos x - 1)/x qui vaut 0 lorsque x tend vers zéro mais pour (1 -cos x)/x² ...

[Bleyblue]

Bon ok j'ai la même chose que toi maintenant minnolina, mais ce (1 - cos x)/x² m'intrigue ...

merci

[Bleyblue]

Ah j'y suis, en fait il suffit de se souvenire que :

1 - cos 2x = 2sin²(x)

et alors on pose x = 2t et ça va tout seule.

Eh bien, c'était une belle limite ça

merci bien !

[invited5b2473a]

C'est dommage que les DL soient pas expliqués partout car c'est vraiment un outil puissant!! C'est bien de faire de temps en temps des calculs de limites jolis mais quand on a une feuille de calcul à faire, les DL sont indispensables.

[Bleyblue]

J'aurais plutôt tendance a être d'accord avec minnolina

Mieux vaut d'abord maîtriser les techniques classiques pour calculer les limites, avant d'uiliser l'artillerie lourde (DL et l'hospital)