limites de suites

[invite56f88dc9]

Bonjour.
Ma prof nous a proposé de nous entraîner sur 2 exercices de limites pour le contrôle de math mais je n'y arrive pas du tout.
Pouvez vous m'aider svp?
Voici les 2 exos :
1er :

1)On suppose qu'une suite (u_n ) admet deux limites distinctes L1<L2.
On pose alors alpha=(L2-L1)/2 >0.
Montrer que la définition de la limite, appliquée à deux "tuyaux" bien choisis, de rayon alpha, conduit à une contracdition.

2) Que peut-on en conclure ?


2ème :

Démontrer que si une suite est convergente alors elle est bornée.


Merci de bien vouloir m'aider.
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[invitea77054e9]

Bonjour.
Ma prof nous a proposé de nous entraîner sur 2 exercices de limites pour le contrôle de math mais je n'y arrive pas du tout.
Pouvez vous m'aider svp?
Voici les 2 exos :
1er :

1)On suppose qu'une suite (u_n ) admet deux limites distinctes L1<L2.
On pose alors alpha=(L2-L1)/2 >0.
Montrer que la définition de la limite, appliquée à deux "tuyaux" bien choisis, de rayon alpha, conduit à une contracdition.

2) Que peut-on en conclure ?

2ème :

Démontrer que si une suite est convergente alors elle est bornée.


Merci de bien vouloir m'aider.

Soient (u_n ) et (v_n ) deux suites convergentes, respectivement vers U et V. Alors, la suite (w_n ) définie par w_n=u_n+v_n est convergente et admet pour limite U+V .
Je pense que tu connais ce résultat.
Pose donc v_n=-u_n.
On a alors w_n=u_n-u_n=0 .
Or u_n tend vers L1 et L2, supposés distinctes, donc on a lim w_n=L1-L2 différent de 0 vu que L1 et L2 sont différents. Absurde vu que w_n=0 pour tout entier naturel n.
On en déduit que si une suite réelle converge, alors sa limite est unique.

[invite56f88dc9]

D'accord pour le premier et merci.
Mais le second comment le commence t on ???

[invitea77054e9]

D'accord pour le premier et merci.
Mais le second comment le commence t on ???

Comment exprimerais-tu qu'une suite n'est pas bornée?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56f88dc9]

Si une suite n'a pas de limites alors elle n'a pas de bornes...

[invite56f88dc9]

D'accord mais comment démontrer ??

[invitea77054e9]

Si une suite n'a pas de limites alors elle n'a pas de bornes...

Pas vraiment non .

Par exemple, la suite définie par u(n)=(-1)^n n'admet pas de limite et pourtant est bornée.

Je te donne la définition d'une suite bornée, à toi de trouver la contraposée:
On dit qu'une suite est bornée s'il existe un réel K tel que pour tout entier naturel n, |u(n)|<K.

[invite56f88dc9]

D'accord et merci pour l'aide.
J'essaierai avec la contraposée.
@+

[invite404b686c]

Tient c'est amusant, pour aujourd'hui, j'avais ces deux exercices à faire... la prof a corrigé le premier, mais n'a pas employé la meme méthode qu'évariste_galois...
Pour le réoudre, elle utilisait la défintion d'une limite de suite (si (u_n ) converge vers l, alors, à partir d'un n₀ suffisament grand, tout les termes u_n sont dans un intervalle ouvert I, contenant l)
Donc ici on calcule I₁ = ] l₁ - alpha; l₁ + alpha [ et idem pour I₂ avec l₂ on obtient deux intervalles disjoints, et d'apres la définition, à partir d'un n₁ suffisament grand tout les u_n serait dans I₁ et pour un n₂ suffisament grand tout les u_n serait dans I₂

donc pour n>sup(n₁,n₂) les u_n serait et dans I₁ et dans I₂ ce qui est impossible puisque les deux intervalles sont disjoints....



Pour le deuxieme exercice.... je n'ai pas eu la correction... mais pour le résoudre apparement il faut à nouveau se servir de la limite de suite... on prend I = ] l-1; l +1[ puisque la suite tend vers l, il y a un nombre fini de terme à l'extérieur de cet intervalle... (ca c'était dans le 'Sos' du bouquin) donc apres.. euh.. bah c'est absolument pas rigoureux.. mais on peut dire qu'il existe un majorant qui correspond à la valeur u_n la plus grande à l'extérieur de I ou à l+1 si euh.. max(u_n) < l+1 enfin dans tout les cas il existe un majorant... on fait la meme chose pour trouver un minorant et voila.... bon tel quel je ne crois pas que cela puisse etre considéré comme une démonstration rigoureuse... mais ca t'ouvrira peut etre la voix vers quelque chose de plus 'propre' (en tout cas je suis curieux de voir comment on démontre ca bien :d)

[invitea77054e9]

Tient c'est amusant, pour aujourd'hui, j'avais ces deux exercices à faire... la prof a corrigé le premier, mais n'a pas employé la meme méthode qu'évariste_galois...

En fait, j'avais pensé utiliser la même méthode que toi, mais c'est pas le genre de raisonnement qu'on demande à des lycéens (je suppose que Sensor est lycéen).

EDIT : En fait je me rend compte que mon raisonnement n'est pas des plus intéressants, il vaut mieux aller voir du côté de ce que Silverbahamut a écrit.

[invite404b686c]

euh... bah je suis en terminale scientifique... et c'est ce que demande le livre.. mais ta méthode est tres interessante :d

[invite404b686c]

...lol les opinions divergent... (comme les suites de temps en temps d'ailleur)... la méthode d'évariste est interessante car elle n'a rien a voir avec celle proposé par le livre... plusieurs vision différentes permettent d'avoir un meilleur recul ^^ (apres.. niveau rigueur de la demonstration... je suis incapable de juger... :d)

[invitea77054e9]

euh... bah je suis en terminale scientifique... et c'est ce que demande le livre.. mais ta méthode est tres interessante :d

En fait, j'aurais plutôt du écrire:

Soient u(n) est v(n) deux suites qui convergent respectivement vers L1 et L2. On suppose de plus que pour tout entier naturel n, u(n)<=v(n) . Alors, L1<=L2 (résultat facilement démontrable).
Supposons alors qu'une suite w(n) tende simultanément vers deux réels L1 et L2.
En posant w(n)=u(n)=v(n), on remarque que u(n)<=v(n) donc L1<=L2 .
Réciproquement, v(n)<=u(n) donc L2<=L1.
On en déduit que L1=L2 .

[invite56f88dc9]

Salut Silverbahamut.
J'ai demandé la correction en fin de cours et elle m'a filé une correction presque similaire.