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limites de suites



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    limites de suites


    ------

    bonjours,

    j´ai une question que j´espère pas trop bête sur les limites de suites:

    Soit une suite Un sur R, strictement croissante et convergente de limite l.

    Intuitivement, il me semble évident que tous les termes Un sont strictement inférieurs à l, mais comment peut-on le prouver?

    Merci d´avance

    christophe

    -----

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  4. #2
    nissart7831

    Re : limites de suites

    Bonjour,

    écris ce que signifie que () est strictement croissante et tu peux examiner s'il peut exister un qui soit supérieur à la limite.

  5. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : limites de suites

    Citation Envoyé par nissart7831
    Bonjour,

    écris ce que signifie que () est strictement croissante et tu peux examiner s'il peut exister un qui soit supérieur à la limite.
    Merci de la réponse, mais je n´arrive toujours pas à formuler le truc:
    Un étant strictement croissante, pour tout n Un+1 > Un
    Suposons que Uno > L (limite):

    Uno+1 > Uno>L

    et après je coince

  6. #4
    nissart7831

    Re : limites de suites

    Ca c'est OK. Maintenant, il faut bien que tu utilises le fait que (Un) est censée converger vers l.

    Utilise la définition de la convergence.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    yat

    Re : limites de suites

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    Uno+1 > Uno>L
    et après je coince
    Ben comme U est strictement croissante, pour tout n>no, on a Un>L. Alors tu sors ta définition de la convergence d'une suite, et tu regardes ce qui ne passe pas.
    EDIT : croisement...

  9. #6
    christophe_de_Berlin

    Re : limites de suites

    bon évidement, le mot converger usuel signifie que plus n se rapproche de l´infini, plus Un se rapproche de L. Or si Uno > L, et Uno+1 > Un, alors Uno+1 s´éloigne de L. Mais bon, ce n´est pas une explication très mathématique.

    Définition de la convergence:
    pour tout є >0 il existe un naturel N tel que pour tout n > N on a
    Un - є < L < Un + є.

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  11. #7
    yat

    Re : limites de suites

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    Définition de la convergence:
    pour tout є >0 il existe un naturel N tel que pour tout n > N on a
    Un - є < L < Un + є.
    Alors essaye en posant un inférieur à la différence entre Uno et L...

  12. #8
    nissart7831

    Re : limites de suites

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    bon évidement, le mot converger usuel signifie que plus n se rapproche de l´infini, plus Un se rapproche de L. Or si Uno > L, et Uno+1 > Un, alors Uno+1 s´éloigne de L. Mais bon, ce n´est pas une explication très mathématique.

    Définition de la convergence:
    pour tout є >0 il existe un naturel N tel que pour tout n > N on a
    Un - є < L < Un + є.
    L'idée est là, tu n'as plus qu'à traduire ça en termes mathématiques. Comme t'a dit yat, si tu prends un inférieur à Uno - l, peux tu trouver un N qui satisfasse la définition de convergence que tu as donnée ?

  13. #9
    christophe_de_Berlin

    Re : limites de suites

    ça y est! c´est ce qui me manquait! Merci et pardon pour les fautes d´orthographe!

  14. #10
    christophe_de_Berlin

    Re : limites de suites

    Par la même occasion, et dans la même rubrique:
    On dit qu´une suite croissante et bornée supérieurement admet une limite.

    D´après le problème où vous m´avez aidé, on peut affirmer réciproquement qu´une suite croissante et admetant une limite, est bornée supérieurement et qu´une de ses bornes (la plus petite certainement) est la limite elle-même. C´est bon?

  15. #11
    matthias

    Re : limites de suites

    Oui dans ce cas la limite est le plus petit des majorants (la borne sup&#233;rieure).

    On peut aussi dire que toute suite convergente (non n&#233;cessairement croissante) est born&#233;e, mais alors la limite n'est pas forc&#233;ment &#233;gale &#224; la borne sup&#233;rieure, ni &#224; la borne inf&#233;rieure.
    Dernière modification par matthias ; 12/12/2005 à 15h35.

  16. #12
    christophe_de_Berlin

    Re : limites de suites

    on peut donc formuler: toute suite convergente est bornée. Si la suite est croissante, la limite est la borne supérieure, si elle décroissante, la limite est la borne inférieure, si elle n´est pas monotone, on ne peut pas conclure. Exacte?

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  18. #13
    GuYem

    Re : limites de suites

    Ca me parait correct.

    Pour te convaincre qu'on ne peut pas conclure si la suite n'est ps monotone prends la suite et pour n>=2.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  19. #14
    matthias

    Re : limites de suites

    Dans le même genre d'idées, pour une suite bornée quelconque on a aussi un outil pratique en introduisant les suites suivantes:





    (Vn) est décroissante minorée donc convergente (limite = borne inférieure de Vn = plus grande valeur d'adhérence de (Un)).
    (Wn) est croissante majorée donc convergente (limite = borne supérieure de Wn = plus petite valeur d'adhérence de (Un)).
    (Un) convergente <=> lim Vn = lim Wn <=> (Un) admet une unique valeur d'adhérence.

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