limites de suites

[invite50cb679c]

Soit la fonction f définie sur I=[1;+inf[ par :
f(x)= 1/X - 1/(X+1)

*Durant la première partie de l'exercice j'ai du démontrer que f est décroissante sur I et calculer la limite de f en + infini.
*Ensuite je dois considérer la suite (Un) de terme général Un=1/n - 1/(n+1) pr n> ou égal à 1.
j'ai du ensuite démonter que cette suite était croissante et pour cela j'ai considérer la fonction f et l'égalité Un=f(n)
* je dois alors déterminer la limite de cette suite et c'est là qu'arrive ma première question:ai-je le droit pour la déterminer de simplemnt dire que--->
la fonction f a pour limite 0 quand n tend vers + inf dc par suite Un tend vers 0 quand n tend vers + inf pr tt n>1? ou il y A t-il une autre manière de démonter cela?
*Après je dois considérer la suite (Sn) dt le terme général est la somme des n premier termes de la suite (Un):
Sn=u1+u2+u3+...+Un
j'ai du alors démontrer que cette suite était croissante.
Arrive ma deuxième question:il me demande de démontrer que
pr tt n> ou égal à 1 Sn= n/n+1
je dois écrire au préalable u1+u2+u3 pour m'aider.
Comment dois je faire pour démontrer ceci?

merci d'avance à ceux qui me repondront!!
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[invitef47010ed]

Par récurrence sur n ça marche pas?

[invite50cb679c]

qu'entends tu par là?

[invitef47010ed]

Hum peut être que tu n'as pas encore vu le raisonnement par récurrence en cours.
Tu démontre la propriété "pr tt n> ou égal à 1 Sn= n/n+1" pour n=1 , donc tu montres que S1=1/(1+1)=1/2

Puis tu démontres que si la propriété est vraie pour Sn, elle est vraie pour Sn+1.
Tu supposes Sn vraie, donc Sn=u1+u2+u3+...+Un=n/n+1
Etudions Sn+1,
Sn+1=u1+u2+u3+...+Un + Un+1
Sn+1=n/n+1 + Un+1
Sn+1=n/n+1 + 1/n+1 - 1/n+2=(n+1)/(n+2)
Donc la propriété est vraie pour Sn+1

Donc la propriété est vraie pour tout n sup ou égal à1.

Evidemment si tu n'as pas vu cette technique en cours, je ne pense pas que tu doives l'utiliser, mais c'est toujours intéressant à connaitre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7fcfc37]

Salut,

L'aide qu'on te propose est précieuse, écris les 5 premiers termes de S, tu vas voir que tu peux bigrement simplifier, essaie ensuite de le généraliser pour n entier naturel.

A+

[invite50cb679c]

merci Eogan de m'avoir répondu mais malheureusement je n'ai pas encore étudié la méthode par récurrence .Mais comme tu l'as dis c'était toujours interessant de savoir !!
Par contre Knz j'ai bien vu que cela se simplifier très facilemnt et que les termes s'annulaient mais je ne vois pas justemnt comment je peux le généraliser?N epourrais tu aps me doner une petite piste?
Sinon est-ce que vous pourriez me dire si vous penser que ma démonstration de la limite de la suite est bonne : l
a fonction f a pour limite 0 quand n tend vers + inf dc par suite Un tend vers 0 quand n tend vers + inf pr tt n>1? ou il y A t-il une autre manière de démontrer cela?

Merci d'avance !

Cordialement

Gwen

[invitea7fcfc37]

Salut,

Tu peux écrire :

S_n = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 + ... + 1/(n-2) - 1/(n-1) + 1/(n-1) - 1/n

Là tu peux dire que tous les termes à partir de 1/2 jusqu'à 1/(n-1) s'annulent entre eux, et qu'il ne te reste plus que S_n = 1 - 1/n.

Je pense que tu peux admettre ce résultat bien que tu ne l'aies pas rigoureusement démontré, il faudrait effectivement le faire par récurrence.

Pour ta culture générale, on parle de somme télescopique, puisque les termes s'annulent les uns après les autres.

A+