besoin d'aide Z/nZ

[inviteb8f38dc5]

Bonjour, je voudrais des explications claires de Z/nZ notemment concernant les notions de groupe cyclique, generateur ect..

D'apres ce que jai compris comme Z/nZ = {0, 1, ..., n-1 } la classe de nimporte quel element de Z/nZ sera parmi les n elements d'ou l'apellation groupe cyclique la classe de n sera celle de 0, celle que n+1 sera celle de 1 ect.. est-ce bien ca ?

ensuite concernant le groupe des inversibles (Z/nZ)* il possede phi (n) elements qui correspondent aux elements premiers avec n (ce qui assure linversibilité par bezout) ca je pense l'avoir bien compris.
Ce que je comprend pas cest pourquoi les elements inversibles sont du coup generateurs de Z/nZ. J'ai ailleurs lu que 1 etait generateur de Z/nZ , je ne comprend pas pourquoi.

Un autre probleme se pose pour moi quand n = p permier.
Z/pZ contient p elements et (Z/pZ)* contient phi (p) = p-1 elements ce qui est normal mais dans ce cas quels sont les generateurs de (Z/pZ) ?


Merci de vos reponses.
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[taladris]

Salut,

Bonjour, je voudrais des explications claires de Z/nZ notemment concernant les notions de groupe cyclique, generateur ect..

D'apres ce que jai compris comme Z/nZ = {0, 1, ..., n-1 } la classe de nimporte quel element de Z/nZ sera parmi les n elements d'ou l'apellation groupe cyclique la classe de n sera celle de 0, celle que n+1 sera celle de 1 ect.. est-ce bien ca ?

ensuite concernant le groupe des inversibles (Z/nZ)* il possede phi (n) elements qui correspondent aux elements premiers avec n (ce qui assure linversibilité par bezout) ca je pense l'avoir bien compris.
Ce que je comprend pas cest pourquoi les elements inversibles sont du coup generateurs de Z/nZ. J'ai ailleurs lu que 1 etait generateur de Z/nZ , je ne comprend pas pourquoi.

Un élément de (Z/nZ)* est la classe d'équivalence [k] d'un entier k premier avec n. D'après le théorème de Bezout, il existe des entiers u et v tels que ku+nv=1. On a alors [1]=[ku+nv]=[k][u]+[n][v]=u[k]. Mais tout élément [q] de Z/nZ s'écrit [q]=q[1] (car [1] est générateur). Donc [q]=qu[k]. Donc [k] est bien générateur.

Un autre probleme se pose pour moi quand n = p permier.
Z/pZ contient p elements et (Z/pZ)* contient phi (p) = p-1 elements ce qui est normal mais dans ce cas quels sont les generateurs de (Z/pZ) ?

Tout les éléments de (Z/pZ)* d'après ce qui précède! C'est à dire tous les éléments non nules de Z/pZ.

Cordialement

[inviteb8f38dc5]

Concernant la partie Z/pZ je pensais comme toi mais je suis confronté a un probleme.
Par exemple Z/5Z ou 5 est premier.

Z/5Z = {0, 1 , 2, 3, 4 } est d'ordre 5

(Z/5Z)* = {1, 2, 3, 4}
un generateur x de Z/5Z si il est parmi 1, 2, 3 ou 4 doit verifier x^5 = 1 or il nya que 1 qui verifie cette relation ( jai calculé pour les 4) donc il na que 1 qui est generateur ... y a t-il une erreur ?

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

Ce n'est pas plutôt à la puissance 4 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb8f38dc5]

Soit G un groupe cyclique d'ordre k.

Alors un element x de G est generateur de G si et seulement si x est d'ordre k.

Comme Z/5Z est dordre 5 un generateur de Z/5Z doit etre d'ordre 5.
Par contre, un generateur de (Z/5Z)* doit etre d'ordre 4 si je ne me trompe pas ...

A confirmer tout ca ...

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

oui si le groupe est cyclique d'ordre K alors tout générateur élevé à la puissance K-1 est égal à 1. Car il y a K-1 éléments non nuls et comme si l'on note a ce générateur alors les puissance de a sont différentes de 0 à K-2 et donc comme il y a K-1 éléments nécessairement a^(K-1)=1 (en clair K-1 éléments différents de 0 donc necessairement c'est cet puissance car si elle été plus petite il en manquerait un et si elle été plus grande un élément serait répété 2 fois ce qui est impossible.)

RoBeRTo

[invite58633955]

OUlah...
Attention Z/nZ est un groupe additif.
Une generateur de Z/5Z, ne doit pas du tout verifer x^5=1 (d'ailleurs x^5=x dans Z/5Z donc...)
Par contre il doit etre d'ordre 5, c'est a dire 5x=0 (et qu'il n'existe pas de p>0, plus petit que 5 tel que px=0)
Dans un groupe cyclique d'ordre k, on a pas du tout (en notation multiplicative, sachant que c'est un peu bete vu que le groupe est abélien mais bon) x^{k-1}=1, que x soit generateur ou pas, le seul element qui verifie ca c'est le neutre...
En fait votre probleme vient du fait que vous melangez Z/nZ groupe additif cyclique d'ordre n et Z/nZ^* groupe multiplicatif pas forcement cyclique d'ordre phi(n).

[inviteb8f38dc5]

Alors la je ne comprend plus rien Therodre...

Je vous soumet l'exercice suivant a titre d'illustration.

On se donne G = (Z/43Z)*.

1) calculer l'ordre de G : 43 est premier donc ord G = phi(43) = 42

2)Quels sont les ordres possibles de G?

Ce sont les diviseurs de 42 d'apres Lagrange donc 1, 2, 3, 7,..., 42.

3) Le probleme se pose ici : quel est lordre de 2 et 7

Et la il y a marqué :

2^14 = 1 mod 43 donc 2 est dordre 14

7^6 = 1 mod 43 donc 7 est dordre 6

On utlise donc bien la notation puissance pour calculer lordre des eleements et non pas la notatin multiplicative dans cet exemple !

4) la derniere question demande un generateur. Comme G est dordre 42 il faut qu'il soit d'ordre 42 = 6.7

2 est d'ordre 14 donc 4 est dordre 7.
et 7 est dordre 6 un generateur est donc 4.7 = 28.

[invite58633955]

Alors la je ne comprend plus rien Therodre...

Je vous soumet l'exercice suivant a titre d'illustration.

On se donne G = (Z/43Z)*.

1) calculer l'ordre de G : 43 est premier donc ord G = phi(43) = 42

2)Quels sont les ordres possibles de G?

Ce sont les diviseurs de 42 d'apres Lagrange donc 1, 2, 3, 7,..., 42.

3) Le probleme se pose ici : quel est lordre de 2 et 7

Et la il y a marqué :

2^14 = 1 mod 43 donc 2 est dordre 14

7^6 = 1 mod 43 donc 7 est dordre 6

Oui a conditions de verifier que ce sont bien les plus petits exposants (non nuls) possibles.

On utlise donc bien la notation puissance pour calculer lordre des eleements et non pas la notatin multiplicative dans cet exemple !

4) la derniere question demande un generateur. Comme G est dordre 42 il faut qu'il soit d'ordre 42 = 6.7

2 est d'ordre 14 donc 4 est dordre 7.
et 7 est dordre 6 un generateur est donc 4.7 = 28.

Ben, notation multiplicative ou puissance c'est pareil, 2^14, ce n'est jamais que 2x2x...x2 14 fois, la loi de ton groupe est bien x

Pour la fin, oui, parce que 6 et 7 sont premiers entre eux.

[inviteb8f38dc5]

D'accord mais alors si jai bien compris jai le droit d'appliquer la meme chose pour (Z/5Z)* mais pas pour Z/5Z parque Z/5Z est additif , ca donne :

G = (Z/5Z)* = {1, 2, 3, 4 }

5 est premier donc ord G = 4.

Les ordres des elements de G ne peuvent etre que 1 ou 2 ou 4 dapres Lagrange.

Un generateur de x G doit donc etre d'ordre l'ordre de G c a dire 4 ...
c a dire tq x^4 = 1...

Pour Z/5Z il faut trouver les nx = 5 c'est bien ca ?

[invite58633955]

C'est quoi n? si n c'est 5, alors oui... et non!
Tu dois trouver les x qui verifient 5x=0, mais tous les elements verifient ca.
Ce que tu dois toruver c'est un element x tel que x different de zero, 2x differnt de 0, 3x dfferent de 0, 4x different de 0 et 5x=0
Mais... par un théoreme, tu sais que c'est exactement la classe des x qui sont premier avec 5, ou encore ce sont pile poile les elements de (Z/5Z)*
Le groupe Z/5Z^* est le groupe des generateurs de Z/5Z (ce n'en est pas du tout un sous groupe!)

[inviteb8f38dc5]

Oui pardon , jai mal ecrit mais je ne comprend pas pk tu marques 5x = 0.
Car en fait pour le groupe additif Z/5Z on devrait chercher les x tels que 5x = 1.

Et ces x la coincident bien avec les elements de (Z/5Z)* groupe des inversibles vu qu'il nous faut pgcd(5,x) = 1.

Y-at-il une erreur de ta part ?

[inviteb8f38dc5]

AH ! non g compris 0 et lement neutre dans le groupe addictif c ca ...