Dénombrabilité

[invitead065b7f]

Bonjour les gens,

je voudrais savoir si l'un de vous sais démontrer qu'une réunion dénombrable d'ensembles dénombrable est dénombrable...


Amicalement
Moma
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[invité576543]

Bonsoir,

Bon, si personne te répond... Sauf erreur, c'est équivalent à la construction d'une bijection entre NxN et N (un numéro par ensemble et un numéro par élément dans l'ensemble).

Si c'est pour un exo, cela donne une piste...

Cordialement,

[invitedf667161]

A mon avis il faut plutôt montrer que est dénombrable.

Mais c'est pas sur encore.

[invitead065b7f]

A mon avis il faut plutôt montrer que est dénombrable.

Justement non, vu que cet ensemble ne l'est pas . Prends par exemple . C'est l'ensemble des réels entre 0 et 1 écris en binaire, et il n'est donc pas dénombrable...

Et pour répondre à mmy, ce n'est pas vraiment pour un exo. C'est plus pour la culture. Et je ne vois pas comment passer de Q à une union dénombrable en fait... Chaque union finie l'est sans problème, mais le passage à la limite est un peu délicat.


amicalement
Moma

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8915d466]

ben oui comme dit mmy ca revient a la dénombrabilité de IN² (c'est quoi IN en TEX ?)

tu numérotes le premier élement du premier ensemble, le premier du 2e, le 2e du premier, le premier du 3e, le 2e du 2e, le 3e du premier, le premier du 4e....

y a une formule qui donne le numéro du i eme element du j ieme ensemble...

[invitea77054e9]

Une bijection entre lN² et lN:
f: lN² -> lN
(p,q) -> f(p,q)=((p+q)(p+q+1)/2)+q

Pour répondre à la question initialement posée, je retranscris une démonstration tirée de l'excellent livre de Laurent Schwartz : "Analyse 1: Théorie des ensembles et Topologie" .

Soit I une partie de lN. Soient A[i], i dans I, des parties dénombrables d'un ensemble A. On suppose qu'aucune de ces parties n'est vide, car celles qui sont vides ne changent rien à la réunion. Soit F[i] une surjection de lN dans A[i]. Alors l'application (i,n)->F[i](n) est une surjection de IxlN sur A[i]. Comme IxlN est dénombrable (ou vide si I est vide), l'union des A[i] est dénombrable.


EDIT: lN s'écrit à l'aide de la commande $\mathbb{N}$ , ce qui donne

[invitead065b7f]

salut,

merci évariste, je ne voyais pas le parallèle que les autres s'éforcaient de me montrer (sans succès malheureusement, ils se sont heurtés à mon indécrotable bornitude... )


Amicalement
Moma