[TermS] Récurrence et divisibilité

[invitef8936fbd]

Bonjour,

Donc j'ai une série d'exercices. J'ai réussi tous les exercices, sauf un. Et j'ai beau le tourner dans tous les sens, je ne trouve pas de solution.


Enoncé :
Démontrer par récurrence que le nombre An = 10^(6n+2) + 10^(3n+1) + 1 est toujours divisible par 111, pour tout entier naturel n. (999 et 999 999 sont divisibles par 111).

Mon raisonnement :

An+1 = 10^(6n+8) + 10^(3n+4) + 1
An+1 = 10^(6n+2) * 10^6 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
An+1 = 10^(6n+2) * 10^3 * 10^3 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
An+1 = 10^3 [ 10^(6n+2) * 10^3 + 10^(3n+1) ] + 1

Je suis persuadé qu'il faut calculer An+1 - An, mais je n'y arrive pas... Enfin, j'ai juste trouvé :

An+1 = 10^(6n+2) * 10^3 * 10^3 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
An+1 = 10^(6n+2) * 10^3 + 10^(6n+2) * 10^3 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
An+1 = 10^3 [ 10^(6n+2) + 10^(3n+1) + 1 ] + 10^(6n+2) * 10^3 - 999
An+1 = 10^3 [ An ] + 10^(6n+2) * 10^3 - 999

Mais ça ne mène a rien...


Ensuite, pour les 999 et 999 999, je suppose que c'est du :
10^6 = 999 999 + 1
10^3 = 999 + 1

Mais la encore, je vois pas ce que je peux en faire...


Pouvez vous m'aider, svp ?
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[invité576543]

Bonjour,

Donc j'ai une série d'exercices. J'ai réussi tous les exercices, sauf un. Et j'ai beau le tourner dans tous les sens, je ne trouve pas de solution.


Enoncé :
Démontrer par récurrence que le nombre An = 10^(6n+2) + 10^(3n+1) + 1 est toujours divisible par 111, pour tout entier naturel n. (999 et 999 999 sont divisibles par 111).

Mon raisonnement :

An+1 = 10^(6n+8) + 10^(3n+4) + 1
An+1 = 10^(6n+2) * 10^6 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
An+1 = 10^(6n+2) * 10^3 * 10^3 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
An+1 = 10^3 [ 10^(6n+2) * 10^3 + 10^(3n+1) ] + 1

Je suis persuadé qu'il faut calculer An+1 - An, mais je n'y arrive pas... Enfin, j'ai juste trouvé :

An+1 = 10^(6n+2) * 10^3 * 10^3 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
An+1 = 10^(6n+2) * 10^3 + 10^(6n+2) * 10^3 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
An+1 = 10^3 [ 10^(6n+2) + 10^(3n+1) + 1 ] + 10^(6n+2) * 10^3 - 999
An+1 = 10^3 [ An ] + 10^(6n+2) * 10^3 - 999

Mais ça ne mène a rien...


Ensuite, pour les 999 et 999 999, je suppose que c'est du :
10^6 = 999 999 + 1
10^3 = 999 + 1

Mais la encore, je vois pas ce que je peux en faire...


Pouvez vous m'aider, svp ?

Bonjour,

Tu as tous les éléments. Tu n'as pas vu l'importance des formules en rouge.

Cordialement,

[invitef8936fbd]

Pourtant, je les ai utilisées dans :
An+1 = 10^3 [ An ] + 10^(6n+2) * 10^3 - 999

Mais je n'arrive pas au resultat.
Et je ne vois vraiment pas comment les utiliser autrement.

[invité576543]

Pourtant, je les ai utilisées dans :
An+1 = 10^3 [ An ] + 10^(6n+2) * 10^3 - 999

Mais je n'arrive pas au resultat.
Et je ne vois vraiment pas comment les utiliser autrement.

Reprends tout à 0, reprends la récurrence dès la première étape, et réfléchis comment les utiliser d'entrée.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef8936fbd]

Reprends tout à 0, reprends la récurrence dès la première étape, et réfléchis comment les utiliser d'entrée.

Cordialement,

Ca fait un moment que je recommence, que je tourne dans tous les sens, et je ne vois pas la solution. Tu veux pas me donner un petit coup de pouce ?

[invité576543]

Ca fait un moment que je recommence, que je tourne dans tous les sens, et je ne vois pas la solution. Tu veux pas me donner un petit coup de pouce ?

10^6(n+1)+2 = 10^6 10^6N+2

Cordialement,

[invitef8936fbd]

Oui, je l'avais vu ça (voir plus haut).
Mais c'est après que je coince...

Ou alors, il faut dire directement que 10^6 = 999 999 + 1
Donc :

10^6(n+1)+2 = (999 999 - 1) * 10⁶ⁿ⁺²


Mais bon, ça m'avance pas vraiment...

[invité576543]

Oui, je l'avais vu ça (voir plus haut).
Mais c'est après que je coince...

Ou alors, il faut dire directement que 10^6 = 999 999 + 1
Donc :

10^6(n+1)+2 = (999 999 - 1) * 10⁶ⁿ⁺²


Mais bon, ça m'avance pas vraiment...

Ca devrait! Le signe c'est +, pas -. Fais la même chose avec le terme en 10³, et regardes:

(999 999 + 1) * 10⁶ⁿ⁺² + (999 + 1) * 10³ⁿ⁺¹ + 1

Cordialement,

[invitea77054e9]

An+1 = 10^3 [ 10^(6n+2) * 10^3 + 10^(3n+1) ] + 1

Dans cette expression, il suffit de remarquer que 10^3=999+1 .

Un petit rappel: si un entier A divise deux entiers B et C, alors A divise B+C.

[invitef8936fbd]

Comment j'ai fait pour ne pas voir ça !


(999 999 + 1) * 10⁶ⁿ⁺² + (999 + 1) * 10³ⁿ⁺¹ + 1
= 999 999 * 10⁶ⁿ⁺² + 10⁶ⁿ⁺² + 999 * 10³ⁿ⁺¹ + 10³ⁿ⁺¹ + 1
= A_n + 999 999 * 10⁶ⁿ⁺² + 999 * 10³ⁿ⁺¹
= A_n + 111 * 9009 * 10⁶ⁿ⁺² + 111 * 9 * 10³ⁿ⁺¹

A_n divisible par 111 par hypothèse
111 * 9009 * 10⁶ⁿ⁺² et 111 * 9 * 10³ⁿ⁺¹ divibles par 111
donc A_n+1 divisible par 111


Un gros merci à toi pour m'avoir ouvert les yeux !

[invité576543]

Comment j'ai fait pour ne pas voir ça !


(999 999 + 1) * 10⁶ⁿ⁺² + (999 + 1) * 10³ⁿ⁺¹ + 1
= 999 999 * 10⁶ⁿ⁺² + 10⁶ⁿ⁺² + 999 * 10³ⁿ⁺¹ + 10³ⁿ⁺¹ + 1
= A_n + 999 999 * 10⁶ⁿ⁺² + 999 * 10³ⁿ⁺¹
= A_n + 111 * 9009 * 10⁶ⁿ⁺² + 111 * 9 * 10³ⁿ⁺¹

A_n divisible par 111 par hypothèse
111 * 9009 * 10⁶ⁿ⁺² et 111 * 9 * 10³ⁿ⁺¹ divibles par 111
donc A_n+1 divisible par 111


Un gros merci à toi pour m'avoir ouvert les yeux !

Le plaisir est pour moi si cela t'a aidé, pas seulement pour l'exercice, mais pour aborder d'autres exercices dans le futur...