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[TermS] Récurrence et divisibilité



  1. #1
    MalikaJ

    [TermS] Récurrence et divisibilité


    ------

    Bonjour,

    Donc j'ai une série d'exercices. J'ai réussi tous les exercices, sauf un. Et j'ai beau le tourner dans tous les sens, je ne trouve pas de solution.


    Enoncé :
    Démontrer par récurrence que le nombre An = 10^(6n+2) + 10^(3n+1) + 1 est toujours divisible par 111, pour tout entier naturel n. (999 et 999 999 sont divisibles par 111).

    Mon raisonnement :

    An+1 = 10^(6n+8) + 10^(3n+4) + 1
    An+1 = 10^(6n+2) * 10^6 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
    An+1 = 10^(6n+2) * 10^3 * 10^3 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
    An+1 = 10^3 [ 10^(6n+2) * 10^3 + 10^(3n+1) ] + 1

    Je suis persuadé qu'il faut calculer An+1 - An, mais je n'y arrive pas... Enfin, j'ai juste trouvé :

    An+1 = 10^(6n+2) * 10^3 * 10^3 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
    An+1 = 10^(6n+2) * 10^3 + 10^(6n+2) * 10^3 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
    An+1 = 10^3 [ 10^(6n+2) + 10^(3n+1) + 1 ] + 10^(6n+2) * 10^3 - 999
    An+1 = 10^3 [ An ] + 10^(6n+2) * 10^3 - 999

    Mais ça ne mène a rien...


    Ensuite, pour les 999 et 999 999, je suppose que c'est du :
    10^6 = 999 999 + 1
    10^3 = 999 + 1

    Mais la encore, je vois pas ce que je peux en faire...


    Pouvez vous m'aider, svp ?

    -----

  2. #2
    invité576543
    Invité

    Re : [TermS] Récurrence et divisibilité

    Citation Envoyé par MalikaJ
    Bonjour,

    Donc j'ai une série d'exercices. J'ai réussi tous les exercices, sauf un. Et j'ai beau le tourner dans tous les sens, je ne trouve pas de solution.


    Enoncé :
    Démontrer par récurrence que le nombre An = 10^(6n+2) + 10^(3n+1) + 1 est toujours divisible par 111, pour tout entier naturel n. (999 et 999 999 sont divisibles par 111).

    Mon raisonnement :

    An+1 = 10^(6n+8) + 10^(3n+4) + 1
    An+1 = 10^(6n+2) * 10^6 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
    An+1 = 10^(6n+2) * 10^3 * 10^3 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
    An+1 = 10^3 [ 10^(6n+2) * 10^3 + 10^(3n+1) ] + 1

    Je suis persuadé qu'il faut calculer An+1 - An, mais je n'y arrive pas... Enfin, j'ai juste trouvé :

    An+1 = 10^(6n+2) * 10^3 * 10^3 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
    An+1 = 10^(6n+2) * 10^3 + 10^(6n+2) * 10^3 + 10^(3n+1) * 10^3 + 1
    An+1 = 10^3 [ 10^(6n+2) + 10^(3n+1) + 1 ] + 10^(6n+2) * 10^3 - 999
    An+1 = 10^3 [ An ] + 10^(6n+2) * 10^3 - 999

    Mais ça ne mène a rien...


    Ensuite, pour les 999 et 999 999, je suppose que c'est du :
    10^6 = 999 999 + 1
    10^3 = 999 + 1


    Mais la encore, je vois pas ce que je peux en faire...


    Pouvez vous m'aider, svp ?

    Bonjour,

    Tu as tous les éléments. Tu n'as pas vu l'importance des formules en rouge.

    Cordialement,

  3. #3
    MalikaJ

    Re : [TermS] Récurrence et divisibilité

    Pourtant, je les ai utilisées dans :
    An+1 = 10^3 [ An ] + 10^(6n+2) * 10^3 - 999

    Mais je n'arrive pas au resultat.
    Et je ne vois vraiment pas comment les utiliser autrement.

  4. #4
    invité576543
    Invité

    Re : [TermS] Récurrence et divisibilité

    Citation Envoyé par MalikaJ
    Pourtant, je les ai utilisées dans :
    An+1 = 10^3 [ An ] + 10^(6n+2) * 10^3 - 999

    Mais je n'arrive pas au resultat.
    Et je ne vois vraiment pas comment les utiliser autrement.
    Reprends tout à 0, reprends la récurrence dès la première étape, et réfléchis comment les utiliser d'entrée.

    Cordialement,

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    MalikaJ

    Re : [TermS] Récurrence et divisibilité

    Citation Envoyé par mmy
    Reprends tout à 0, reprends la récurrence dès la première étape, et réfléchis comment les utiliser d'entrée.

    Cordialement,
    Ca fait un moment que je recommence, que je tourne dans tous les sens, et je ne vois pas la solution. Tu veux pas me donner un petit coup de pouce ?

  7. #6
    invité576543
    Invité

    Re : [TermS] Récurrence et divisibilité

    Citation Envoyé par MalikaJ
    Ca fait un moment que je recommence, que je tourne dans tous les sens, et je ne vois pas la solution. Tu veux pas me donner un petit coup de pouce ?
    106(n+1)+2 = 10^6 106N+2

    Cordialement,

  8. #7
    MalikaJ

    Re : [TermS] Récurrence et divisibilité

    Oui, je l'avais vu ça (voir plus haut).
    Mais c'est après que je coince...

    Ou alors, il faut dire directement que 10^6 = 999 999 + 1
    Donc :

    106(n+1)+2 = (999 999 - 1) * 106n+2


    Mais bon, ça m'avance pas vraiment...

  9. #8
    invité576543
    Invité

    Re : [TermS] Récurrence et divisibilité

    Citation Envoyé par MalikaJ
    Oui, je l'avais vu ça (voir plus haut).
    Mais c'est après que je coince...

    Ou alors, il faut dire directement que 10^6 = 999 999 + 1
    Donc :

    106(n+1)+2 = (999 999 - 1) * 106n+2


    Mais bon, ça m'avance pas vraiment...
    Ca devrait! Le signe c'est +, pas -. Fais la même chose avec le terme en 103, et regardes:

    (999 999 + 1) * 106n+2 + (999 + 1) * 103n+1 + 1

    Cordialement,

  10. #9
    evariste_galois

    Re : [TermS] Récurrence et divisibilité

    Citation Envoyé par MalikaJ
    An+1 = 10^3 [ 10^(6n+2) * 10^3 + 10^(3n+1) ] + 1
    Dans cette expression, il suffit de remarquer que 10^3=999+1 .

    Un petit rappel: si un entier A divise deux entiers B et C, alors A divise B+C.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  11. #10
    MalikaJ

    Re : [TermS] Récurrence et divisibilité

    Comment j'ai fait pour ne pas voir ça !


    (999 999 + 1) * 106n+2 + (999 + 1) * 103n+1 + 1
    = 999 999 * 106n+2 + 106n+2 + 999 * 103n+1 + 103n+1 + 1
    = An + 999 999 * 106n+2 + 999 * 103n+1
    = An + 111 * 9009 * 106n+2 + 111 * 9 * 103n+1

    An divisible par 111 par hypothèse
    111 * 9009 * 106n+2 et 111 * 9 * 103n+1 divibles par 111
    donc An+1 divisible par 111


    Un gros merci à toi pour m'avoir ouvert les yeux !

  12. #11
    invité576543
    Invité

    Re : [TermS] Récurrence et divisibilité

    Citation Envoyé par MalikaJ
    Comment j'ai fait pour ne pas voir ça !


    (999 999 + 1) * 106n+2 + (999 + 1) * 103n+1 + 1
    = 999 999 * 106n+2 + 106n+2 + 999 * 103n+1 + 103n+1 + 1
    = An + 999 999 * 106n+2 + 999 * 103n+1
    = An + 111 * 9009 * 106n+2 + 111 * 9 * 103n+1

    An divisible par 111 par hypothèse
    111 * 9009 * 106n+2 et 111 * 9 * 103n+1 divibles par 111
    donc An+1 divisible par 111


    Un gros merci à toi pour m'avoir ouvert les yeux !

    Le plaisir est pour moi si cela t'a aidé, pas seulement pour l'exercice, mais pour aborder d'autres exercices dans le futur...

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