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[TS]Mini Exo recurrence et divisibilité.



  1. #1
    Anakina

    [TS]Mini Exo recurrence et divisibilité.


    ------

    Coucou !
    Alors voilà une petite question dans des exos de maths que je n'arrive pas à résoudre. Après en avoir résolu un du même type, je pense qu'il faut également utiliser la récurrence pour celui là, cependant je n'arrive pas à arriver à ce que je veux avec cette méthode
    Alors voilà l'énoncé :
    démontrer que pour tout n entier naturel, 2^2n + 6n - 1 et divisible par 9.
    Voici mon début de résonnement :
    pour (n+1) => 2^(2n+2) + 6n + 6 - 1
    = 2^2n * 2^2 + 6n + 5
    = 2^2n * 4 + 6n + 5 ...
    Après en développant encore et en factorisant j'arrive à un multiple de 3 mais pas de 9...

    -----

  2. #2
    Flyingsquirrel

    Re : [TS]Mini Exo recurrence et divisibilité.

    Bonjour,

    Et en faisant apparaître dans ?

  3. #3
    Anakina

    Re : [TS]Mini Exo recurrence et divisibilité.

    J'arrive à U(n+1) = 3(2^2n +2) + Un

  4. #4
    Flyingsquirrel

    Re : [TS]Mini Exo recurrence et divisibilité.

    Le but c'est de se servir de Un (dont on sait qu'elle est divisible par 9) pour faire disparaître ce qui nous dérange : le . Ça fait ensuite apparaître des termes qui seront (on l'espère) plus simples à gérer.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    MS.11

    Re : [TS]Mini Exo recurrence et divisibilité.

    Exprime ton 2^2n dans ton hypothèse de récurrence comme 9q + ... puis tu le remplaces au rang n+1 et en arrangeant un peu tu verras qu'au rang n+1 aussi le nombre est divisible par 9

    et n'oublie pas d'initialiser la propriété !

    voilà bon courage
    "Les pierres qui émergent permettent de traverser le cours d'eau. "

  7. #6
    Anakina

    Re : [TS]Mini Exo recurrence et divisibilité.

    Bon alors en adoptant ta méthode MS.11, j'ai :
    Init : n=1, vérifiée
    Hérédité : démontrons que Un/9 ==> U(n+1) /9
    Hyp : Un = 2^2n + 6n - 1 = 9k => 2^2n = 9k-6n+1
    Rel : pour U(n+1) = 2^(2n+2) + 6n + 5
    Donc :
    Un = 2^2n + 6n - 1 = 9k
    U(n+1) = 2^(2n+2) + 6n + 5 = 9k
    = 2^2n * 2^2 + 6n + 5 = 9k
    = (9k-6n+1)*4 + 6n + 5 = 9k
    = 36k - 18n + 9 = 9k
    = 9 (4k -2n + 1) = 9k
    Conclusion : ....

    Ca marche ?

  8. #7
    Anakina

    Re : [TS]Mini Exo recurrence et divisibilité.

    Bon, j'irais vérifier auprès de mon prof de maths demain, en tout cas je vous remercie beaucoup !

  9. #8
    pseudo100

    Re : [TS]Mini Exo recurrence et divisibilité.

    Bonsoir,

    J'ai eu en le même exercice à faire la semaine dernière mais il n'a pas été corrigé.

    Le raisonnement donné par Anakina dans son dernier message est-il bon ?

    Merci d'avance, c'est urgent.

    Bonne soirée.

  10. #9
    pseudo100

    Re : [TS]Mini Exo recurrence et divisibilité.

    up...
    up...

  11. #10
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : [TS]Mini Exo recurrence et divisibilité.

    Bonjour.

    L'exercice est bien "démontrer que 2^2n + 6n - 1 est divisible par 9" ? Alors relis dans le message #6 la partie initialisation ("init"). Tu peux conclure seul ...

    Il ne sert à rien de poser des questions sur un texte qu'on ne lit pas.

    Cordialement.

  12. #11
    Kemiste
    Responsable technique

    Re : [TS]Mini Exo recurrence et divisibilité.

    Bonjour.

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Il ne sert à rien de poser des questions sur un texte qu'on ne lit pas.
    Ni d'envoyer des MP au hasard pour avoir la réponse...

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