[TS]Mini Exo recurrence et divisibilité.

[invite88183682]

Coucou !
Alors voilà une petite question dans des exos de maths que je n'arrive pas à résoudre. Après en avoir résolu un du même type, je pense qu'il faut également utiliser la récurrence pour celui là, cependant je n'arrive pas à arriver à ce que je veux avec cette méthode
Alors voilà l'énoncé :
démontrer que pour tout n entier naturel, 2^2n + 6n - 1 et divisible par 9.
Voici mon début de résonnement :
pour (n+1) => 2^(2n+2) + 6n + 6 - 1
= 2^2n * 2^2 + 6n + 5
= 2^2n * 4 + 6n + 5 ...
Après en développant encore et en factorisant j'arrive à un multiple de 3 mais pas de 9...
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[Flyingsquirrel]

Bonjour,

Et en faisant apparaître dans ?

[invite88183682]

J'arrive à U(n+1) = 3(2^2n +2) + Un

[Flyingsquirrel]

Le but c'est de se servir de Un (dont on sait qu'elle est divisible par 9) pour faire disparaître ce qui nous dérange : le . Ça fait ensuite apparaître des termes qui seront (on l'espère) plus simples à gérer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MS.11]

Exprime ton 2^2n dans ton hypothèse de récurrence comme 9q + ... puis tu le remplaces au rang n+1 et en arrangeant un peu tu verras qu'au rang n+1 aussi le nombre est divisible par 9

et n'oublie pas d'initialiser la propriété !

voilà bon courage

[invite88183682]

Bon alors en adoptant ta méthode MS.11, j'ai :
Init : n=1, vérifiée
Hérédité : démontrons que Un/9 ==> U(n+1) /9
Hyp : Un = 2^2n + 6n - 1 = 9k => 2^2n = 9k-6n+1
Rel : pour U(n+1) = 2^(2n+2) + 6n + 5
Donc :
Un = 2^2n + 6n - 1 = 9k
U(n+1) = 2^(2n+2) + 6n + 5 = 9k
= 2^2n * 2^2 + 6n + 5 = 9k
= (9k-6n+1)*4 + 6n + 5 = 9k
= 36k - 18n + 9 = 9k
= 9 (4k -2n + 1) = 9k
Conclusion : ....

Ca marche ?

[invite88183682]

Bon, j'irais vérifier auprès de mon prof de maths demain, en tout cas je vous remercie beaucoup !

[pseudo100]

Bonsoir,

J'ai eu en le même exercice à faire la semaine dernière mais il n'a pas été corrigé.

Le raisonnement donné par Anakina dans son dernier message est-il bon ?

Merci d'avance, c'est urgent.

Bonne soirée.

[pseudo100]

up...
up...

[gg0]

Bonjour.

L'exercice est bien "démontrer que 2^2n + 6n - 1 est divisible par 9" ? Alors relis dans le message #6 la partie initialisation ("init"). Tu peux conclure seul ...

Il ne sert à rien de poser des questions sur un texte qu'on ne lit pas.

Cordialement.

[Kemiste]

Bonjour.

Il ne sert à rien de poser des questions sur un texte qu'on ne lit pas.

Ni d'envoyer des MP au hasard pour avoir la réponse...