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[exo] Divisibilité & théoreme de Fermat



  1. #1
    n0unours

    [exo] Divisibilité & théoreme de Fermat


    ------

    TS spé Maths

    Salut tout le monde, j'ai (encore) un petit problème en maths spé

    On a vu dernierement le petit théoreme de Fermat (pas vraiment compliqué, mise à part la démonstration...)
    enfin

    notre prof nous demande es ce que:

    5^8 - 5 est divisible par 8

    Et je ne vois pas où utiliser le théoreme de fermat
    donc j'ai fait

    5 congru a 3[8]
    5^8 congru à 3[8]
    5^8 congru à 1[8]
    5^8 - 5 congru à 1-3[8]
    donc 5^8 - 5 congru à -2[8]

    Ainsi, 5^8 - 5 n'est pas divisible par 8, mais il y a t il une méthode plus rapide, et où il ne faut pas utiliser la calculatrice?

    Merci bcp

    -----

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  3. #2
    Pole

    Re : [exo] Divisibilité & théoreme de Fermat

    Citation Envoyé par n0unours
    5 congru a 3[8]

    5^8 congru à 3[8]
    5^8 congru à 1[8]

    5^8 - 5 congru à 1-3[8]
    donc 5^8 - 5 congru à -2[8]
    Assez contradictoire.
    5^8=1 mod 8.
    5^8-5=1-5 mod 8
    5^8-5=-4+8 mod 8
    5^8-5=4 mod 8
    Pour calculer rapidement 5^8 mod 8 :
    5^(2^3) mod 8
    5^2=1 mod 8.
    5^(2^3)=((5^2)^2)^2=(1^2)^2=1 mod 8.

    @+
    Pour comprendre la récursivité croisée, il faut comprendre les arbres d'appels. Et vice versa.

  4. #3
    n0unours

    Re : [exo] Divisibilité & théoreme de Fermat

    oui j'avais oublié un puissance 8

    ok merci bcp

  5. #4
    acx01b

    Re : [exo] Divisibilité & théoreme de Fermat

    5^8 -5 = (5^7 -1)*5

    si 8 était pseudopremier en base 5 alors 5^7-1 serait divisible par 8, mais il ne l'est pas..

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    n0unours

    Re : [exo] Divisibilité & théoreme de Fermat

    je ne comprends pas ton terme "pseudopremier"

    parceque ce que tu dis 5^7-1 n'a pas de rapport avec, ça serait plutot 5^9-1 mais vu que c'est en modulo 8 ça prends pas...

    à moins de ne pas avoir compris ton affirmation

  8. #6
    acx01b

    Re : [exo] Divisibilité & théoreme de Fermat

    le petit théorême de fermat c'est si a^(n-1) - 1 = k * n

    alors n premier,

    OU

    n pseudopremier en base a

    (a ne devant pas être un multiple de n)

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  10. #7
    acx01b

    Re : [exo] Divisibilité & théoreme de Fermat

    le petit théorême de fermat c'est si a^(n-1) - 1 = k * n

    alors n premier,

    OU

    n pseudopremier en base a

    (a ne devant pas être un multiple de n)

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