[exo] Divisibilité & théoreme de Fermat

[invite9b6e0fb5]

TS spé Maths

Salut tout le monde, j'ai (encore) un petit problème en maths spé

On a vu dernierement le petit théoreme de Fermat (pas vraiment compliqué, mise à part la démonstration...)
enfin

notre prof nous demande es ce que:

5^8 - 5 est divisible par 8

Et je ne vois pas où utiliser le théoreme de fermat
donc j'ai fait

5 congru a 3[8]
5^8 congru à 3[8]
5^8 congru à 1[8]
5^8 - 5 congru à 1-3[8]
donc 5^8 - 5 congru à -2[8]

Ainsi, 5^8 - 5 n'est pas divisible par 8, mais il y a t il une méthode plus rapide, et où il ne faut pas utiliser la calculatrice?

Merci bcp
-----

[invite3d7be5ae]

5 congru a 3[8]

5^8 congru à 3[8]
5^8 congru à 1[8]

5^8 - 5 congru à 1-3[8]
donc 5^8 - 5 congru à -2[8]

Assez contradictoire.
5^8=1 mod 8.
5^8-5=1-5 mod 8
5^8-5=-4+8 mod 8
5^8-5=4 mod 8
Pour calculer rapidement 5^8 mod 8 :
5^(2^3) mod 8
5^2=1 mod 8.
5^(2^3)=((5^2)^2)^2=(1^2)^2=1 mod 8.

@+

[invite9b6e0fb5]

oui j'avais oublié un puissance 8

ok merci bcp

[acx01b]

5^8 -5 = (5^7 -1)*5

si 8 était pseudopremier en base 5 alors 5^7-1 serait divisible par 8, mais il ne l'est pas..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9b6e0fb5]

je ne comprends pas ton terme "pseudopremier"

parceque ce que tu dis 5^7-1 n'a pas de rapport avec, ça serait plutot 5^9-1 mais vu que c'est en modulo 8 ça prends pas...

à moins de ne pas avoir compris ton affirmation

[acx01b]

le petit théorême de fermat c'est si a^(n-1) - 1 = k * n

alors n premier,

OU

n pseudopremier en base a

(a ne devant pas être un multiple de n)

[acx01b]

le petit théorême de fermat c'est si a^(n-1) - 1 = k * n

alors n premier,

OU

n pseudopremier en base a

(a ne devant pas être un multiple de n)