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Théorème de Fermat et entiers complexes



  1. #1
    Prokofiev

    Question Théorème de Fermat et entiers complexes


    ------

    Depuis qu'Andrew Wiles a démontré le dernier théorème de Fermat, on sait qu'on ne peut trouver aucun triplet (x;y;z) d'entiers tels que
    x^n + y^n = z^n avec n>2.
    Ok.

    Maintenant qu'en est-il avec les "entiers complexes" ?
    quelqu'un a-t-il étudié la chose ?
    (un entier complexe est de la forme a+bi avec a et b entiers).
    pour n = 2 (pythagore) on trouve foison de triplets entiers complexes.
    pour n = 3 j'ai réfléchi un peu mais je n'ai trouvé jusqu'à présent:
    - ni triplet répondant à l'équation
    - ni démonstration qu'il n'en existe pas (et le théorème de Fermat ne semble d'aucun secours).

    Alors ?

    -----

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  3. #2
    Prokofiev

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    addendum:
    On montre facilement que les trois entiers complexes ne peuvent être purs en même temps. Il y a donc forcément un entier complexe non-pur dans le triplet (ni entier pur, ni imaginaire pur).

    La raison de cette question est que dans bien des cas, un problème ne trouvant pas de solution dans l'ensemble des réels, trouve une solution dans l'ensemble des complexes. Est-on dans ce cas ?
    ça me titille.

  4. #3
    Romain BERTOUY

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    vouah, comment trouver un truc pareil...

    bon, tu as essayer d'écrire tes complexes sous la formes exponentielles ? ça t'aidera pour les puissance,

    maintenant la condition partie réelle et partie imaginaire pure entière...
    Romain

  5. #4
    Prokofiev

    Suite

    Je ne suis pas sûr que l'utilisation de la notation exponentielle facilite le travail précisément à cause de la condition a et b entiers.

    Si on pose
    x = a+bi
    y = c+di
    z = e+fi

    alors x^3 + y^3 = z^3 implique le système :
    a(a²-3b²) + c(c²-3d²) = e(e²-3f²)
    b(3a²-b²) + d(3c²-d²) = f(3e²-f²)
    ce qui est évidemment monstrueux à résoudre.

    Maintenant si on prend des hypothèses (pour trouver à tâtons une solution):
    Hypothèse 1) x entier naturel et y imaginaire pur ça réduit à:
    a^3 = e(e²-3f²)
    d^3 = f(f²-3e²)
    ce qui n'est peut être pas impossible à résoudre.

    Ou
    Hypothèse 2) x et y conjugués (donc y = a - bi) alors x^3 + y^3 est réel pur et on a:
    2a(a²-3b²) = e(e²-3f²)
    0 = f(3e²-f²)
    d'où f = 0
    donc
    e^3 = 2a(a²-3b²)
    qui ne me semble pas inattaquable…

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Prokofiev

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    Dois-je préciser que je subodore l'existence d'une solution (au moins au cas n=3) et que cette solution n'est peut-être pas très compliquée ?

  8. #6
    leg

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    je pensais que la démonstration d'Euler pour la cas N = 3, faisait appel justement au nombre complexes..mais peut être que je dis une bétise.

    je crois qu'il serait peut être plus facile d'essayer avec N = 4 qui sont solution de N = 2. car c'est ce qu'il y a plus simple a trouver, pour l'absence de solution dans cette puissance .

    ensuite si il en existe, il faut aller sur la puissance N = 6 ("ce sont des solutions de de N = 2") car c'est en même temps une solution de N = 3 ...

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  10. #7
    BS

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    C'est une question intéressante, en fait voici dans quel cadre elle apparait naturellement : on appelle corps de nombre un corps contenant Q et de dimension finie sur Q.
    L'équation x^n+y^n=z^n peut être vue comme l'équation d'une courbe (projective). Le théorème de Fermat consiste à dire que cette courbe n'a pas de points à coefficients dans Q. Un résultat célèbre sur les courbes algébriques du à Faltings est le suivant :
    Une courbe projective lisse de genre g > 1 définie sur Q n'a qu'un nombre fini de points dans un corps de nombre donné.
    projectif lisse de genre > 1 sont des conditions géométriques qui sont vérifiées par la courbe de Fermat pour n assez grand. Le théorème de Faltings (antérieur à Wiles) prédisait donc déjà que dans un corps de nombres, il n'y a qu'un nombre fini de solutions (à multiplication par un scalaire près), c'est déjà formidable comme résultat mais le théorème de Fermat est beaucoup plus précis : il dit combien il y a de solutions dans Q et les techniques que Wiles a utilisées sont spécifiques à Q, ou du moins se compliquent beaucoup généralisées aux corps de nombres.
    Le problème que tu poses est de chercher les points de cette courbe dans le corps de nombres Q(i) qui est de dimension 2 sur Q. Il n'y a a priori pas de raisons que le résultat soit le même que sur Q, mais le théorème de Faltings (aussi appelé conjecture de Mordell) t'assure au moins qu'il n'y en a qu'un nombre fini (à multiplication par un scalaire près).

  11. #8
    leg

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    oui, mais si effectivement il y en avait un nombre Fini; ne serais-ce que 2
    dans ce cas on suppose l'existance de x^3 +y^3 = z^3, comment wiles aurait pu démontrer ce théorème car si prokofiev trouve une solution en utilisant les nombres complexes cela tendrait a dire que la démo d'A Wiles serait fausse...
    même une solution dans le cas N = 4...
    (citation prokofiev)
    (un entier complexe est de la forme a+bi avec a et b entiers).
    pour n = 2 (pythagore) on trouve foison de triplets entiers complexes

    oui mais pour n = 2, toutes les puissances paires, font l'affaire donc il suffit de trouver une solution carrée de N = P ; [(a^3)² + (b^3)² = (z^3)²] = [a^6 + b^6 = z^6] =
    A^3 + B^3 = Z^3; A ,B et Z sont des carrés parfaits

    question : est ce que ces triplets correspondent a des multiples de triplets primitifs? donné par la formule des triplets pythagoriciens.

    Kp² - q² = x
    k 2pq = y
    K p² + q² = z; pour K = 1 avec p et q entiers naturels premier entre eux de parité différente
    ou : p et q impairs, premier entre eux, K = 1
    p*q = x, p² - q² / 2 = y , et p² + q² / 2 = z

  12. #9
    BS

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    Citation Envoyé par leg
    oui, mais si effectivement il y en avait un nombre Fini; ne serais-ce que 2
    dans ce cas on suppose l'existance de x^3 +y^3 = z^3, comment wiles aurait pu démontrer ce théorème car si prokofiev trouve une solution en utilisant les nombres complexes cela tendrait a dire que la démo d'A Wiles serait fausse...
    Pourquoi ? Il pourrait très bien y avoir des solutions dans Z[i] qui ne sont pas dans Z...

  13. #10
    martini_bird

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    Citation Envoyé par leg
    je pensais que la démonstration d'Euler pour la cas N = 3, faisait appel justement au nombre complexes..mais peut être que je dis une bétise.
    Salut,

    non, c'est bien ça: Euler travaille dans . Mais la preuve de Euler était incomplète (pas de démonstration de l'existence et de l'unicité de la décomposition en facteurs premiers).

    Cordialement.

  14. #11
    martini_bird

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    Citation Envoyé par BS
    Pourquoi ? Il pourrait très bien y avoir des solutions dans Z[i] qui ne sont pas dans Z...
    En effet,

    et par exemple l'équation a²+1=0 n'a pas de solution dans Z alors qu'elle en a dans Z[i].

    Z[i] est plus "gros" que Z, c'est pourquoi des solutions non triviales peuvent apparaître.

    Cordialement.

  15. #12
    BS

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    non, c'est bien ça: Euler travaille dans . Mais la preuve de Euler était incomplète (pas de démonstration de l'existence et de l'unicité de la décomposition en facteurs premiers).

    Cordialement.
    Il me semble ue sa preuve était juste. En fait il a travaillé dans qui lui est bien un anneau principal, donc avec unicité de la décomposition et tout. Mais ce n'est pas parceque ces preuves font intervenir des nombres complexes qu'elle prouvent qu'il n'y a pas de solution dans .

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  17. #13
    leg

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    ok BS, pour ta remarque, je n'avais pas compris ce que suppose prokofiev.

    mais malgrés tout je repose la question : ne serait- il pas plus facile de chercher déjà une solution dans le carré d'une puissance impaire ?
    car pour les entiers on résoud d'abord l'absence de solution dans les puissances paires.

  18. #14
    BS

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    Je ne sais pas, on pourrait quand même imaginer une situation de ce type : pour tout premier impair la courbe de Fermat n'a pas de points supplémentaires dans Q(i) mais elle en a pour n=4, ça ne me semble pas impossible a priori, si ?

  19. #15
    leg

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    bonsoir Bs, ne maitrisant pas du tout les n Complexes, j'ai posé cette question car prokofiev trouve des solutions dans N = 2; ce qui pour moi sous entend que le résultat obtenu est un carré parfait, du fait que la partie Imaginaire n'apparait pas dans le résultat, donc même si il a deux entiers a et c dans ces n complexes, a+bi =x et c+di,=y, dans le triplet, x et y ne peuvent pas correspondrent a un triplet d'entier naturel mais le résultat et un carré parfait soit pour N = 2 ou N = 4,6,10, 14 etc et dans ce cas, rient n'empèche a priori d'obtenir la solution carrée d'une puissance Première, car même dans les entiers naturel il est possible en utilisant la formule des triplets pythagoryciens de trouver X irationnel, Y entier et Z entier tel que X² + y² = Z² où y et z sont deux carrés parfait, alors qu'un triplet pythagoricien "conventionel" n'admet qu'un carré parfait dans le triplet X,Y ET Z entiers naturels.

  20. #16
    martini_bird

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    Salut,

    Citation Envoyé par BS
    Il me semble ue sa preuve était juste.
    Je n'ai pas dit qu'elle était fausse, mais incomplète: Euler n'avait précisément pas démontré le caractère factoriel de l'anneau que tu cites.

    Cordialement.

  21. #17
    Prokofiev

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    Rebonjour,
    Je laisse provisoirement tomber le cas n=3 pour chercher des solutions pour n=4.
    En gros, peut-on trouver x, y et z entiers de Gauss (entiers complexes) tels que x² + y² = z² avec x, y et z eux-mêmes carrés.

    Et là, surprise, on constate vite qu'une condition nécessaire (et non suffisante) veut que les parties réelles et imaginaires de x, y et z doivent elles-mêmes faire partie d'un triplet pythagoricien. C'est-à-dire:
    si x = a +ib alors il existe un c entier tel que a²+b²=c².
    Je gratte, je fouille, je creuse....

  22. #18
    leg

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    alors, prokofiev je pense que la partie est perdue. car si tu en trouvé un, on est dacord que le résultat serait, trois entiers carré = un triplet pythagoricien avec la partie I qui est elle même un T.P Imaginaire, mais un telle réponse suppose que le théorème de P de F serait faux, ce qui est démontré, donc impossible pour le cas:
    N = 4!
    mais on ne sait jamais ..
    aussi une idée que je propose, peux tu trouvé une solution tel que : en complexe, Y et Z sont deux carrés et X a ta guise.
    pourquoi cette idée, car si tu ne trouves pas c'est que même avec des complexes il n'y a pas de solution! car si une telle solution existe alors regarde les conséquences sur le théorème de pythagore:
    le carré de l'ypothénuse serait = avec le carré de Y est le carré de sa différence avec l'ypothénuse.
    Z² = Y² + D²
    D = Z - Y
    A+

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  24. #19
    leg

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    re prokofiev.
    ton absence de solution a t'elle valeur, de démonstration pour le cas générale avec des entiers, car pas de solution dans N = 4 donc pour N pair > 2 puis l'étendre sur:
    N = 3.
    il suffirait pour cela que même la solution x, y² et z² n'a pas de solution tel que:
    x² + (y²)² = (z²)².
    est deusième possibilité, une telle solution éxiste alors:
    la partie réelle de x, forme t'elle avec y est z un triangle rectangle ..???
    ce que moi je suppose impossible , Mais ce n'est vraiment qu'une supposition, malgrés la relation avec le carré de l'ypothénuse qui doit resté égale a la somme des deux carrés des côtés de l'angle droit et non avec d², qui est la différence entre z est y.
    en espérant que ces idées t'aident dans ta quête..
    A+

  25. #20
    Prokofiev

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    ???
    Leg, je ne te suis pas du tout. Peux-tu être plus explicite ?

  26. #21
    leg

    Re : Théorème de Fermat et entiers complexes

    bonjour prokofiev:
    il faut démontrer qu'il n y a pas de solution dans N = 4 tel que ² + (Y²)² = (Z²)² n'existe pas avec x et y entiers de gausse,
    pourquoi : cela démontre en même temps que le théorème de pythagore qui dit que :la carré de l'ypothénuse est = a la somme des carrés des cotés de l'angle droit reste toujours valable avec des entiers de gausse !
    car si une solution existerait sous cette forme, et que la différence d, entre l'ypothénuse et le côté = (Y²) est aussi un carré tel que (d²) avec d, entier naturel ou entier de gausse cela implique que ledit théorème perd ses propriétés en nombre complexes ce qui m'étonnerait!
    Mais l'absence de solution , implique que la démonstration suit la même démo que les entiers naturels
    donc il sera facile de démontrer que pour N = 2 les solutions sont équivalente a celle des entiers naturels, et que le triplet pythagoricien sous cette forme n'admet aussi qu' un seul carré et avec a et b entier, X = a + bi..
    car si tu supposes une solution dans une puissance impaire elle éxistera dans le carré de cette puissance par ex N = 3 et N = 6.
    en démontrant que dans N = 6 il n'y en a pas cela serra valable pour toutes les puissance paires par récurrence.
    et toujour en supposant une solution dans N = 3 ou 6 il suffit donc de choisir x et y dans cette solution qui existe, et qui devrait t'en redonner une autre superieur, comme pour les entiers et là tu trouvera la contradiction, qui te conduirra a la conclusion par l'absurde:c'est que tu ne peux pas avoir choisis X et y dans une soluiton que tu as supposés existé!!!
    note:
    c'est l'idée qu'a du avoir P de Fermat en démontrant que pour le cas N = 2 en utilisant des nombres non entier il ne pouvait construire un Triplet Pythagoricien Primitiftel que: K = 1 et p et q non entier
    K p² - q² = x
    K 2pq = y
    k p² + q² = z
    la raison est , il existerait alors x² + y^4 = z^4 , ou x^4 + y² = Z^4 ou encore x^4 + y^4 = Z²
    et toute les démos du cas N = 4 seraient fausses ainsi que le théorème de Pythagore !
    d'où labsence de solution primitive avec p et q non entiers entraîne l'absence de solution dans N > 2 etc etc ..
    il fallait utiliser comme propriété (x²) = X et (z²) =Z n'existe pas ainsi que (z²) et (y²) , = Z et Y. sa méthode de descente infinie était une impasse...la preuve tout le monde la utilisé, est personne n'a trouvée avec cette façon la solution générale. ce que Lui devait savoir, c'est mon avis personnel.

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