Est-ce une conjecture?

[invite0384691e]

Bonsoir,

Voilà, j'ai lu quelque part cette étrange chose :

Un nombre "parfait" est égal à la somme de ses diviseurs, excepté ce nombre lui-même.

Si, à partir de 1, on écrit la suite géométrique de raison 2, et si la somme des termes est égale à un nombre premier, alors le produit de ce nombre premier par le dernier terme de la suite est un nombre parfait.

Exples :

1+2 = 3; 3X2 = 6= 3+2+1
1+2+4 = 7 et 7x4=28= 7 + 4 + 14 + 1 + 2

1+2+3+4+8+16 = 31 et 31x16=496 qui est parfait ...

Question : s'agit-il d'une conjecture ?
Merci d'avance de m'éclairer sur cette étrange chose
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[martini_bird]

Salut,

Euler a démontré que cette formule donne exactement tous les nombres parfaits pairs. En faisant la somme, la formule est où p et 2^p-1 sont premiers.

Par contre, on ne sait pas à ce jour s'il existe des nombres parfaits impairs.

Cordialement.

[matthias]

Autrement dit, si (2ⁿ-1) est premier, alors 2^n-1(2ⁿ-1) est parfait. Cela s'appelle la relation d'Euclide.
Euler a aussi démontré que tous les nombres parfaits pairs étaient de cette forme.

[EDIT: grillé par martini ...]

[martini_bird]

Ta formule est connue depuis au moins Nicomaque et certainement Pythagore. On la retrouve dans le livre IX des Eléments d'Euclide (proposition 36).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[leg]

bonsoir Martini.

on a pas trouvé de nombre parfait impair, car il ne peut en exister , la définition des n parfaits pairs est imcomplète, "voir fausse" ceci n'engage que moi.
je joint un fichier ou j'explique cette raison.

[matthias]

on a pas trouvé de nombre parfait impair, car il ne peut en exister , la définition des n parfaits pairs est imcomplète, "voir fausse" ceci n'engage que moi.

C'est sûr qu'en changeant les définitions ...

je joint un fichier ou j'explique cette raison.

il est où ?

[leg]

fichier joint, ne fonctionne pas ou alors je fait une érreur, merci de me donner un renseignement.

voici l'explication
Leg.
« Une question se pose : un nombre parfait est aussi un bis parfait tous ses diviseurs y compris lui même ex 28 = 1+28, 2+14 , 4+7 = 56 ; donc si 27 était parfait, il serait aussi bis parfait, par définition dont la somme serait 54 ! il précèderait toujours un nombre parfait pair,
Puisque la somme de ses diviseurs est un nombre impair étant donné que 1 ne peut être considérait comme un facteur donc comme un diviseur ! ce qui prouve qu’il n’en existe pas !

Donc on peut dire que si il existe un Nombre parfait impair bi parfait , il est Parfait !
Dans ce cas, une porte s’ouvre pour démontrer le contraire !
Je suppose 29 non premier, si il est bis parfait cela me donne 58 , auquel je peux déjà enlever 1+29 =30 il me reste bien un nombre parfait pair 28 , d’ou l’impossibilité 28 ne peut être parfait qu’avec 1 ! Or il n’existe pas de nombre parfait en ne comptant que les diviseurs de N:

= 2^n-1 ( 2ⁿ - 1 ) sans rajouter 1, la somme des diseurs est impair , autrement dit, si est seulement si, il existe un parfait impair , soit un bi parfait imp, alors il existe un parfait Pair dont la somme des diviseurs sans 1 est lui même est = a ce nombre !
On peut dire, qu’un nombre parfait pair et impair, ne ferait qu’un, tel que leur définition le laisse apparaître : soit un nombre pair auquel on rajoute 1 a la somme des diviseurs « étant donné que 1 est neutre ni premier ni composé, »
Ou alors un nombre impair auquel je rajoute 1 et je le divise, la somme des diviseurs étant impair, j’ai un nombre parfait impair ; ex en prenant, 28 !

Je prend 5*2 = 10 ; 1et 5 = 6, il me manquerait 4 le seul nombre dont la somme des diviseurs, 2+2 = lui même, c’est a dire « quasi parfait » ; mais qui n’est pas parfait pair, ni 5 qui est premier, mais voilà ce que cela donnerait.

Donc il ne peut exister de nombre parfait impair « ou de parfait pair » égale a la somme des ses diviseurs sans 1 est lui même ! Puisque , il devrait être précédé par un nombre N pair, de la forme : N = 2^n-1 ( 2ⁿ - 1 )
avec p = (2ⁿ -1) premier, »


Je pense par conséquent qu’il faut redéfinir les nombres parfaits pairs en reconsidérant les diviseurs de ce nombre, soit 1 par convention est un diviseur, et dans ce cas le nombre lui même en est un ! sinon ceci n’a aucun sens et est contraire à la rigueur mathématique où l’on veut que 1 est un ensemble vide sans facteur, dans les entiers naturels : ni composé ! ni premier !

lg

[leg]

C'est sûr qu'en changeant les définitions ...?

on peut trés bien changer une définition sans changer le fond du problème si cette dernieère préte a confusion.
ce n'est pas parce qu'un mulet mange du foin qu'il ne mange rient d'autre....alusion à un vieux proverbe

[matthias]

étant donné que 1 ne peut être considérait comme un facteur donc comme un diviseur !

Si tout est basé là-dessus, je m'arrête ici (j'ai suffisament de mal à lire ton charabia, tu pourrais quand-même faire un effort pour faire des phrases intelligibles, ou même simplement en français).

Quel que soit le nombre considéré, 1 en est bien un diviseur.

[leg]

ce n'est pas avec des arguments de ce genre, que les mathématiques ont progressées. 1 ne donne aucune indication sur la primalité d'un nombre ou sur la division d'un nombre, et tu sais trés bien que 1 est considéré comme un ensemble vide sans facteur.
que tu n'est pas envie de répondre, a ce que j'essais d'expliquer sur les nombres parfaits pairs ou l'inéxistance des parfait impairs,cela te regarde...
j'ai au moins le mérite d'apporter une hypothèse, sans me cacher par des excuses déplaisantes de la part d'un modo qui ne sait pas quoi répondre! a une hypothèse relativement simple et sans charabia...
sur ce, trouve une explication pour le moins aussi logique sur l'absence des parfait impairs!

[Quinto]

Ce n'est pas non plus en s'entetant et en allant contre toutes les règles de bon sens que l'on a fait progresser les sciences.
C'est le genre de conversation sans queue ni tête...

[matthias]

leg, si tu veux redéfinir ce qu'est un nombre parfait libre à toi, mais donne lui plutôt un autre nom au lieu de dire que ce que les autres ont fait avant toi n'a aucun sens. Et en ce cas tu étudieras un autre problème.

Avec la définition adoptée par tout le monde sauf toi des nombres parfaits les résultats donnés par martini_bird sont démontrés et c'est la seule chose qui compte.

et ceci:

1 est considéré comme un ensemble vide sans facteur

ne signifie absolument rien.

[martini_bird]

Salut leg,

pour ta gouverne, matthias n'est pas modérateur...

Sinon, tu connais mes remarques au sujet de la difficulté de te lire.

Aujourd'hui, je découvre un manque de courtoisie de ta part et j'avoue être à la fois surpris et désappointé.

En espérant que ce n'était qu'une humeur passagère.

Pour la modération,
martini_bird.

[leg]

désolé de te contredire Quinto , mais les exemples foisonnent; c'est bien en s'entêtant que l'on a solutionné des conjectures ,en passant par des chemins bien détournés .(heureusement pour pour A willes et Fermat)

"je ne vois pas dans mon hypothèse que je vais contre les régles de bon sens ."
que vous le vouliez ou non, le double d'un parfait pair ex 28, implique tous les diviseurs y compris 1 et 28, si un parfait impair existe il a les mêmes propriétés, donc il précederait un parfait pair, ou au minimum il suivrait comme par ex 29, si ce dernier était un nombre parfait I, la somme des diviseurs devrait être 28, + 1 et 29
or, si je ne me trompe, on a jamais trouvé de nombre > 4, dont la somme des diviseurs est égale a ce nombre sans compter 1 et le nombre lui même.

Martini B
je ne pense pas avoir était discoutois par rapport a Matthias, ce nétait pas mon but.
j'ai émis une hypothèse et sa réponse n'est pas du tout fair play , mon but était de trouver une explication a ces nombres parfait, en faisant ressortir cette particularité et en aditionnant tous les diviseurs donc le nombre lui même, car si il en existait un, je pense qu'il existerait un parfait pair dont la somme des diviseurs sans rajouter 1, égale ce nombre parfait pair.

bonsoir a tous

[invite0384691e]

Merci de toutes ces réponses.

Quand même, il me semble que si on change la définition d'un nombre parfait en incluant le nombre dans les diviseurs, cela doit permettre d'établir d'autres résultats intéressants, même si ça ne tranche pas le problème de l'existence de nombres "parfaits" (dans la première acception de sens) impairs... Faut voir ...

[Bloud]

Merci de toutes ces réponses.

Quand même, il me semble que si on change la définition d'un nombre parfait en incluant le nombre dans les diviseurs

Sauf que si tu inclues le nombre lui-même dans la liste de ses diviseurs tu n'as aucune chance que la somme soit égale au nombre donné!

[matthias]

je ne pense pas avoir était discoutois par rapport a Matthias, ce nétait pas mon but.
j'ai émis une hypothèse et sa réponse n'est pas du tout fair play

Ma réponse était que ton texte est à peu près incompréhensible, je suis absolument navré si ce n'est pas fair play, mais personnellement je n'y comprends rien. Il est tout à fait possible que ce soit moi qui soit complètement bouché ceci-dit.

Deuxièmement, je ne faisais que te rappeler, que quel que soit le nombre considéré 1 en est un diviseur. Et ce n'est pas sans intérêt (loin de là) de considérer 1 comme un diviseur, contrairement à ce que j'ai cru comprendre de tes propos. Il suffit de regarder du côté du pgcd et de ses nombreuses applications.

Maintenant si tu veux bien faire un effort pour exposer à nouveau ton raisonnement de manière claire et sans changer les définitions, on pourra en discuter plus posément.

[invite0384691e]

Sauf que si tu inclues le nombre lui-même dans la liste de ses diviseurs tu n'as aucune chance que la somme soit égale au nombre donné!

Oui, c'est l'exclusion du 1 parmi les diviseurs qui change la définition... c'était pour rire

Cela dit, avec ce changement de définition, on peut peut-être parvenir à d'autres résultats remarquables

[invited04d42cd]

La définition des nombres parfaits est basé sur les diviseurs stricts de ce nombre... 1 est un diviseur strict.

[leg]

bonjour matthias
je part d'une supposition, en excluant 1 comme diviseur
pour la raison suivante qu'il ne donne aucune indication sur la division d'un entier naturel >1.

Alors si il existait un nombre parfait impair, il aurait les mêmes propriétés ce qui est impossible d'avoir les propriétés d'un nombre parfait pair
il ne peut pas être de la forme indiqué par Euler donc il ne peut corresponde a la suite géometrique de raison 2
qui est le sujet de ce fil.
or en supposant qu'il existerait dans le voisinage d'un parfait pair par ex:28 , je suppose 29 parfait impair,
je peux les multiplier tous les deux par 2 et faire la somme des diviseurs en comptant a ce titre 1 et 28 ou 1 et 29.
dans le premier cas la somme des diviseurs pour 28 est : 27 + 1 + 28
dans le deuxième cas pour 29 la somme est 28 "+1 + 29" la somme des diviseurs me donnerait un nombre parfait pair qui est 28 ce qui donnerait quasiment les mêmes propriété en rajoutant 1 à :2^p-1(2^p- 1;
c'est ce qui me parait ne pas avoir de sens et qui me fait dire: si ils ne peuvent avoir les mêmes propriétés pourquoi et surtout comment pourraient ils exister!

alors que l'on sait qu'un nombre parfait pair est divisible uniquement par un nombre pair qui est une puissance de 2 et par aucun autre nombre pair par; ex 6, ou (P*2); P étant un nombre premier
sinon les nombres de Mersenne seraient tous composés!
d'ailleur la question qui serait intéressante:
2^p-2 est égale au double d'un nombre de Mersenne, si il passe le test de Lucas, alors Mp est un nombre premier est il plus facile de trouver un diviseur de ce nombre pair, autre qu'un nombre pair puissance de 2,? ou de savoir qu'il a un de ces diviseurs = (P*2) pour P > 5 ; "P bien sur est premier"

donc nous voyons bien la forme particuliére des parfaits pairs et leur incidence sur les nombre Premiers de Mersenne; mais surement pas celle des parfaits impairs!

c'est une idée comme une autre A+

[martini_bird]

Salut,

on peut voir un nombre parfait comme un nombre dont la somme de tous les diviseurs vaut .

je part d'une supposition, en excluant 1 comme diviseur
pour la raison suivante qu'il ne donne aucune indication sur la division d'un entier naturel >1.

Je propose que l'on appelle leg-parfait les entiers tels que . Au moins, il y a une distinction claire entre parfait et leg-parfait. Du coup un leg-parfait est un nombre déficient.

Cordialement.

[leg]

:
2^p-2 est égale au double d'un nombre de Mersenne, si il passe le test de Lucas, alors Mp est un nombre premier

excusez moi de cette érreur le double d'un nombre de Mersenne c'est 2^p-1(2^p - 1)
que divise 2^p-2

[invited04d42cd]

Tu nous dit que tu exclus 1 de ta définition des nbs impairs, et juste après tu dis que 28 est parfait...

Et je ne vois pas où tu prouves qu'il n'existait pas de parfaits impairs.

[matthias]

alors que l'on sait qu'un nombre parfait pair est divisible uniquement par un nombre pair qui est une puissance de 2 et par aucun autre nombre pair

28 est divisible par 14 non ?

Sinon , j'avoue que comme easythomas, je ne comprends pas pourquoi d'un côté tu dis exclure 1 des diviseurs et de l'autre tu considères 28 comme un nombre parfait.

[leg]

l'autre diviseur de 14 c'est 2
"1" 2 + 4
..14 + 7
496=
"1" 2 + 4 + 8 +16
...248+124+62+31

dans les nombres parfaits pairs:
si tu trouves une autre paire de facteur, où dans cette paire il n'y a pas une puissance de 2, alors je retire tout ce que j'ai dis et dans ce cas la preuve d'Euler est fausse!
je considére un nombre parfait où la somme de ces diviseurs est égale à la valeur du nombre impair qui le précède ou, tel que cela est défini, en rajoutant 1
"que je ne considére pas pour autant comme un diviseur sans faire de polemyque sur ce sujet qui n'est pas le but de ce fil"
(tout entier naturel positif ce décompose de façon unique en facteur premier soit des diviseurs premier a l'exeption de 1 et de cet entier ...etc ...etc voilà la raison, sans plus, ce qui ne change rient ou n'apporte rient de plus d'interessant)

easythomas
si j'en avais la preuve j'en serai heureux, mais ce n'est pas ce que je dis, je suppose qu'il n'en existe pas, par raport aux propriété des n parfaits pair : conjecture...

[leg]

Martini :je n'avais pas vu ta réponse.

mais dommage, tu as tort car un leg-parfait n'existe pas.
donc pas de leg-parfait déficient.
Est ce si dur que ça, pour des matheux de regarder au delà du carcan mathématique rigide....?alors bonne chasse aux nombres parfaits impairs.....
bonne soirée

[invite986312212]

j'ai vérifié hier: parmi les 10000 premiers entiers il n'y a pas de leg-parfait. La leg-conjecture est donc crédible. Mais je n'arrive pas à la démontrer. Tout ce que je suis arrivé à prouver c'est qu'il n'y a pas de leg-parfait parmi les nombre impairs qui ne sont pas des carrés. Je travaille sur les nombres pairs. Pour les carrés impairs ça a l'air plus difficile.

[invite986312212]

j'ai fini par trouver une preuve pour les nombres pairs: ils ne peuvent être leg-parfaits. Manquent les nombres impairs qui sont des carrés. Mais j'ai cherché numériquement les 1000 premiers carrés: aucun n'est leg-parfait (ça ne prouve rien bien sûr).

cela dit, un tel problème est évident dès qu'on s'intéresse aux nombres parfaits, et je serais bien étonné si des gens comme Erdös ou Sierpinski n'en avaient pas parlé.

[leg]

bonjour ambrosio,
Lorsque l’on applique le test de Lucas .L, au nombre 2(2p – 1) le test fonctionne, avec le même nombre d’itération.
Par ex : pour 2 (2⁷ -1) = 254 à la sixième opération soit S₀ = 4 ; S₅ = 238² - 2…que divise 254, le quotient est entier = 223
Pour 2⁷ – 1 = 127, S₅ = 111² - 2 que divise 127 = 97
Pour le nombre parfait pair correspondant a ce nombre de Mersenne, 8128 = 127*64
= 2^p-1 (2^p – 1)
qui n’est aussi qu’ un multiple de 127, le test continu après la 6ème itération
ma question est : y’a t’il une raison que ce test ne me donne pas un quotient entier, comme pour les deux premiers cas ?

[SPH]

Tiens tiens, notre Leg national !

Tu sais Leg, j'ai travaillé dur et ai reussi à trouver 2 formules mathematiques contenant 100% des cribleurs de Mersenne. Tu serait epatté par mes trouvailles. Mais pour l'instant, je reste discret car il me manque un petit element revolutionnaire....