Révisions de terminale, divisibilité par récurrence, petits problèmes

[invite3e257a4d]

Bonsoir à tous,

Je révise un petit peu les acquis de terminale pour ne pas me faire trop surprendre au début de cette année malgré le départ un peu rude, je refais des exercices sur les différents emplois du raisonnement par récurrence et voilà qu'on me demande de justifier que 3^2n - 2^n et 3^(2n+1)+2^(n+2) sont deux nombres entiers divisibles par 7.

Donc j'ai initialisé le problème avec n=0, jusque là tout va bien mais je ne parviens pas à faire apparaître le n+1 pour justifier.

Si quelqu'un pouvait juste m'aiguiller un peu (je suis rouillé avec les vacances...).

Merci à vous.

@+

sperca

PS: promis j'apprends le latex dès que je peux
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[Médiat]

Pour la première, par exemple : il suffit de calculer la congruence de modulo 7, en faisant apparaître

[invite3e257a4d]

Merci de ta réponse mais je n'ai pas le droit d'utiliser la congruence, seulement la récurrence.

[Médiat]

Merci de ta réponse mais je n'ai pas le droit d'utiliser la congruence, seulement la récurrence.

Pas grave dire qu'un nombre est congru à 0 modulo 7 ou dire qu'il s'écrit 7k avec k un entier, c'est pareil.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3e257a4d]

Là par contre je crois que je ne sais même pas par où commencer je cherche à montrer 3^(2n+1)-2^(n+1) = 7k mais si je pars de la supposition comme quoi 3^(2n)-2^n = 7k, je fais comment pour retrouver le n+1 ?
J'avoue que là y a un petit détail qui doit m'échapper :S

Merci

[Médiat]

Ecris 3^(2n+1)-2^(n+1) en faisant apparaître 3^2n - 2^n (égal à 7k par hypothèse de récurrence.

[invite3e257a4d]

Dis moi si j'ai compris, écrire la forme n+1 en faisant apparaître l'ancienne, j'obtiens ça : 3*3^2n - 2*2^n = 7k
Si c'est ça qu'est-ce que je peut faire pour démontrer que c'est divisible par 7.

Les vacances c'est bien mais la reprise aïe aïe aïe...

Merci pour ton aide.

[Médiat]

j'obtiens ça : 3*3^2n - 2*2^n = 7k
Si c'est ça qu'est-ce que je peut faire pour démontrer que c'est divisible par 7.

Avant toute chose, je me suis planté dans le message précédent, c'est 3^2(n+1)-2^(n+1) qu'il fallait lire, désolé.

[invite3e257a4d]

Ah je crois que j'ai compris, en partant de 3^2(n+1) - 2^(n+1) j'obtiens (3^2-2)^n+1 = 7k donc c'est bien divisible par 7 au rang n+1 et le tour est joué .

C'est bien ça où je me suis trompé ?

Merci beaucoup à toi.

Quoique je me suis peut-être emporté puisque je ne fais pas apparaître la forme au niveau n...

[Médiat]

C'est bien ça où je me suis trompé ?

Tu t'es trompé .

Tu écris que a^n - b^n = (a-b)^n ce qui est faux...

[invitec418c418]

sperca > Pour t'aider :



si mes souvenirs sont bons

[invite3e257a4d]

Euh j'ai peur d'avoir compris un truc qui était devant mes yeux...

euh attends je vérifie jeme suis trompé...

[invite3e257a4d]

Argh je peux plus éditer l'ancien, bon donc si je simplifie la forme que tu m'as donné, j'obtiens 9^(n+1) - 2^(n+1), je soustrais et c'est fini plus qu'à rédiger ?
Si c'est ça j'ai vraiment été bête...

Merci à toi.

[Médiat]

Je te laisse finir ...

[invite3e257a4d]

Cela fait deux heures que je me triture l'esprit avec ça, franchement je bloque, c'est peut-être parce que je suis crevé mais là...
Je vois bien que le premier membre 7.3^2n est bien divisible par 7 mais la suite je ne vois pas...
J'ai trouvé ceci sur le net http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv...visi7.htm#div7
qui est la démonstration pour la divisibilité du secondnombre, j'ai beau la refaire je ne comprends pourquoi à un moment il dit calculons la différence indiquée, qu'est-ce que ce la signifie car je suis bloqué à ce point et je pense que ce point est commun aux deux nombres que je dois calculer...

Merci à vous.

[Médiat]

Et c'est quoi l'hypothèse de récurrence ?

[invite3e257a4d]

Ah ! oui ok ça y est j'ai compris, on a supposé qu'au niveau n c'était divisible par 7 et sachant que l'autre membre a 7 en facteur tout colle !
Merci beaucoup pour votre persévérance pour moi

merci encore et à bientôt