problèmes de divisibilité ( TS spé maths)
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problèmes de divisibilité ( TS spé maths)



  1. #1
    invite56f88dc9

    problèmes de divisibilité ( TS spé maths)


    ------

    Bonjour.
    Je dois montrer par récurrence puis en utilisant les congruences que pout tout n€N 3^(n+3) _ 4^(4n+2) est divisible par11.
    J'ai réussi à démontrer par les congruences mais j'ai un peu de mal avec la récurrence.
    Pour P(n+1) on a : 33^(n+1+3) _ 4^(4(n+1)+2). Là je bloque un petit peu car je ne suis pas encore très habitué aux récurrences
    Pouvez vous m'aider, s'il vous plaît.
    Merci.

    -----

  2. #2
    inviteeac53e14

    Re : problèmes de divisibilité ( TS spé maths)

    3^(n+1+3) = 3^(n+3)*3
    4^(n+1+2) = 4^(n+2)*4
    Comme tu as 3^(n+3)-4^(n+2) divisible par 11 alors n'importe laquelle de ces combinaisons linéaire est divisible par 11. D'où l'assertion est vraie au rang (n+1).

  3. #3
    invite56f88dc9

    Re : problèmes de divisibilité ( TS spé maths)

    Merci pour le coup de main et juste une petite question.

    Citation Envoyé par Bloud
    4^(n+1+2) = 4^(n+2)*4
    4^(n+1+2) ne serait pas égal à 4^(4(n+1)+2) = 4^(4n+6)

    Si je me trompe excuse moi.

  4. #4
    inviteeac53e14

    Re : problèmes de divisibilité ( TS spé maths)

    Citation Envoyé par sensor
    Merci pour le coup de main et juste une petite question.



    4^(n+1+2) ne serait pas égal à 4^(4(n+1)+2) = 4^(4n+6)

    Si je me trompe excuse moi.

    Non, pas du tout! Quand tu multiplies 4^(n+2) et 4^1, tu additionnes les exposants. Ce que tu as écrit, 4^(4(n+1)+2), est égal à (4^(2n+3))².

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    inviteeac53e14

    Re : problèmes de divisibilité ( TS spé maths)

    Je rajoute juste que ta seconde égalité est juste (j'ai seulement écrit le second membre différemment).

  7. #6
    invite56f88dc9

    Re : problèmes de divisibilité ( TS spé maths)

    Merci Bloud

  8. #7
    inviteeac53e14

    Re : problèmes de divisibilité ( TS spé maths)

    Sans pro.

  9. #8
    inviteea0d596d

    Re : problèmes de divisibilité ( TS spé maths)

    si tu poses Un = 3n+3 -44n+2

    Un+1 -Un = 2(3n+3 -44n+2 ) -253x44n+2

    et tu remarques que 253 = 11 x 23
    + l'hypothèse de récurrence ==> Un+1 est bien multiple de 11 .

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