problèmes de divisibilité ( TS spé maths)

[invite56f88dc9]

Bonjour.
Je dois montrer par récurrence puis en utilisant les congruences que pout tout n€N 3^(n+3) _ 4^(4n+2) est divisible par11.
J'ai réussi à démontrer par les congruences mais j'ai un peu de mal avec la récurrence.
Pour P(n+1) on a : 33^(n+1+3) _ 4^(4(n+1)+2). Là je bloque un petit peu car je ne suis pas encore très habitué aux récurrences
Pouvez vous m'aider, s'il vous plaît.
Merci.
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[inviteeac53e14]

3^(n+1+3) = 3^(n+3)*3
4^(n+1+2) = 4^(n+2)*4
Comme tu as 3^(n+3)-4^(n+2) divisible par 11 alors n'importe laquelle de ces combinaisons linéaire est divisible par 11. D'où l'assertion est vraie au rang (n+1).

[invite56f88dc9]

Merci pour le coup de main et juste une petite question.

4^(n+1+2) = 4^(n+2)*4

4^(n+1+2) ne serait pas égal à 4^(4(n+1)+2) = 4^(4n+6)

Si je me trompe excuse moi.

[inviteeac53e14]

Merci pour le coup de main et juste une petite question.



4^(n+1+2) ne serait pas égal à 4^(4(n+1)+2) = 4^(4n+6)

Si je me trompe excuse moi.

Non, pas du tout! Quand tu multiplies 4^(n+2) et 4^1, tu additionnes les exposants. Ce que tu as écrit, 4^(4(n+1)+2), est égal à (4^(2n+3))².

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeac53e14]

Je rajoute juste que ta seconde égalité est juste (j'ai seulement écrit le second membre différemment).

[invite56f88dc9]

Merci Bloud

[inviteeac53e14]

Sans pro.

[inviteea0d596d]

si tu poses U_n = 3ⁿ⁺³ -4⁴ⁿ⁺²

U_n+1 -U_n = 2(3ⁿ⁺³ -4⁴ⁿ⁺² ) -253x4⁴ⁿ⁺²

et tu remarques que 253 = 11 x 23
+ l'hypothèse de récurrence ==> U_n+1 est bien multiple de 11 .