TS Spé Maths : Critère de divisibilité par 7

[invite3a0844ce]

Salut à tous,

Je viens vous demander, si vous le voulez bien, confirmation pour un petit exo.

Donc dans cet exo on trouve cette question :
"Soit N le nombre dont l'écriture décimale est a(n) a(n-1) ... a(1) a(0) (ce qui est noté entre parenthèse est normalement sous forme d'indices) et soit N' le nombre dont l'écriture décimale est a(n) a(n-1) ... a(1).

Montrer que N est divisible par 7 si et seulement si N'-2a(0) est divisible par 7"

Voici ma démo :

J'ai écrit N et N' sous une autre forme. On a :

N = a(n)*10^n + a(n-1)*10^(n-1) + ... + a(1)*10 + a(0)
N' = a(n)*10^n + a(n-1)*10^(n-1) + ... + a(1)

On a donc N = 10N' + a(0)
10N' = N - a(0)

10(N'-2a(0)) = 10N' - 20 a(0) = N - a(0) - 20a(0) = N - 21a(0)

Donc 10(N'-2a(0)) = N - 21a(0)

7 divise 21 donc 7 divise -21a(0)
Si 7 divise N, alors 7 divise N - 21a(0), donc 7 divise 10(N'-2a(0))
Or 7 ne divise pas 10 donc pour que 7 divise 10(N'-2a(0)), il faut que 7 divise N'-2a(0)

On a donc bien 7 divise N si et seulement si 7 divise N'-2a(0)


Cette démonstration est-elle correcte ? Je me demande surtout si j'ai le droit d'écrire N = 10N' + a(0) ? A mon avis non puisque je pense que n désigne un naturel, et non l'infini.
D'autre part, il me semble que le raisonnement "si et seulement si" est un raisonnement à double sens. Faut-il donc que je rajoute quelque chose ?

Par avance merci,
++
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[invité576543]

Cette démonstration est-elle correcte ?

Presque... L'idée est bonne, mais il y a une faute dans l'écriture de N'

D'autre part, il me semble que le raisonnement "si et seulement si" est un raisonnement à double sens. Faut-il donc que je rajoute quelque chose ?

Juste un peu plus de rigueur dans les équivalences...

Cordialement,

[invite3a0844ce]

Salut mmy,

Presque... L'idée est bonne, mais il y a une faute dans l'écriture de N'

Je crois savoir ce que tu veux dire. Tu voudrais que j'écrive N' sous la forme :
a(n)*10^n + a(n-1)*10^(n-1) + ... + a(1)*10 ?

Je l'avais écrit comme ça au début, mais j'en ai déduit que c'était faux puisque ça insinue que a(0) vaut obligatoirement 0 alors qu'il est comprit entre 0 et 9 (au sens large)

Et puis cette écriture ne mène à rien. On arrive à N'-2a(0)=N-3a(0) et après ?

[invité576543]

Je crois savoir ce que tu veux dire. Tu voudrais que j'écrive N' sous la forme :
a(n)*10^n + a(n-1)*10^(n-1) + ... + a(1)*10 ?

[/QUOTE]

Non plus! Réfléchis un peu plus. Autre méthode: essaye d'appliquer tes formules à des cas très simples, des nombres inférieurs à 20 par exemple.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3a0844ce]

Ok j'ai trouvé :

N'=a(n)*10^(n-1)+a(n-1)*10^(n-2)+...+a(1)

Et avec ça on a bien N=10N'+a(0)

[invité576543]

Il n'y a plus qu'à rédiger proprement pour montrer l'équivalence plutôt qu'une seule direction...

Cdlt

[invite3a0844ce]

Ok merci pour ta participation

++

[invite4cd70395]

Besoin d'aide pour cet exo de maths niveau 3e Pour demain !!!

On note n un nombre entier positif et u son chiffre des unités .
Ce nombre peut s'écrire n=10m+u (égalité 1) m étant un entier positif .
Le nombre m correspond au nombre obtenu à partir de n en supprimant le chiffre des unités .
Suivant la méthode "ci-dessus" (critères de divisibilités par 7), on note n' l'entier positif obtenu en retranchant de m le double du chiffre des unités de n . On a n'=m-2u (égalité 2)


1) A 'aide de l'égalité 2 , exprimer m en foncton de n' et de u .
Puis à l'aide de l'égalité 1 , exprimer n en fonction de n' et de u .

2)Démontrer que si n' est divisible par 7 , alors n est aussi divisible par 7 .
Que peut-on en déduire pour la méthode proposée ?

Voilà , je ne comprend pas grand chsoe , j'ai donc besoin de votre aide de toute urgences !!

Merci .
Camille

[invite4cd70395]

Besoin d'aide pour cet exo de maths niveau 3e

On note n un nombre entier positif et u son chiffre des unités .
Ce nombre peut s'écrire n=10m+u (égalité 1) m étant un entier positif .
Le nombre m correspond au nombre obtenu à partir de n en supprimant le chiffre des unités .
Suivant la méthode "ci-dessus" (critères de divisibilités par 7), on note n' l'entier positif obtenu en retranchant de m le double du chiffre des unités de n . On a n'=m-2u (égalité 2)


1) A 'aide de l'égalité 2 , exprimer m en foncton de n' et de u .
Puis à l'aide de l'égalité 1 , exprimer n en fonction de n' et de u .

2)Démontrer que si n' est divisible par 7 , alors n est aussi divisible par 7 .
Que peut-on en déduire pour la méthode proposée ?

Voilà , je ne comprend pas grand chsoe , j'ai donc besoin de votre aide de toute urgences !!

Merci .
Camille