[2 exo]Divisibilité

[invite9b6e0fb5]

Term S spé Maths

Bonjour, j'ai encore (et toujours) des petits problèmes de spé maths

enoncé 1:

Soit p un nombre premier différent de 2.
Montrer que p divise 1+2+...+2^(p-2)

Donc la je suis totalement planté parceque je ne vois pas où est-ce que je pourrais utiliser le théorème de Fermat la dedans. Si qq1 pourvais m'éclaircir la voie...?

Merci

Enoncé2:

Pour n>=1, le répunit Un est le nombre de n chiffres tous égaux à 1 (dans le système décimal)
U1=1, U2=11; U3=111, etc

1) Quels sont les nombres premiers parmi U2, U3, U4, U5?

Je dis que seulement U2 était premier mais pour les autres, j'ai fait a la calculatrice pour voir s'il n'avais pas de diviseurs, mais y aurait il une solution "plus simple"?

2) Montrer que si n est multiple de 3, Un n'est pas premier.

Je ne sais pas comment faire, donc si on pouvait encore une fois m'éclaircir sur le chemin à prendre...

3) Prouver que Un= ((10^n)-1)/9

En déduire que, si n est composé, il en est de meme pour Un.

Si vous pouviez m'aider svp...
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[kaya31]

Salut, penses au critères de divisibilité par 3 (somme des chiffres divisible par 3).
Tu te rendras compte que U3 par exemple est divisible par 3 et donc non premier...
Pour la suite, ca generalise ca...

[invite3f53d719]

Tu ne vois pas une formule que tu pourrais utiliser pour simplifier cette somme?

[invite9b6e0fb5]

Salut, penses au critères de divisibilité par 3 (somme des chiffres divisible par 3).
Tu te rendras compte que U3 par exemple est divisible par 3 et donc non premier...
Pour la suite, ca generalise ca...

Merci bcp, ça m'avance, je vais faire ça.

Tu ne vois pas une formule que tu pourrais utiliser pour simplifier cette somme?

surement la formule d'une somme arithématique ?

((n+1)/2)*(U0+Un) ?...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Si la somme ne te dit rien d'entrée, regardes les premiers termes; calcules les différentes sommes 1 puis 1+2 puis 1+2+4 puis 1+2+4+8 et continues... devrait y avoir un déclic.

Cordialement,

[invite9b6e0fb5]

bon ben je vais voir dans ce sens, pourl'instant ça ne me donne pas un déclic, mais on va quand même essayer

[invite3f53d719]

C'est marrant quand même de penser au petit théorème de fermat, et de pas reconnaitre la somme des termes d'une suite géométrique (et pas arithmétique)

Petit rappel de 1S: 1+q+q^2+...+q^n = (1-q^(n+1))/(1-q)

(la démonstration est la suivante: si on pose S(n) = 1+q+q^2+...+q^n, tu as S(n)-qS(n) = 1-q^(n+1) par télescopage, et S(n)-qS(n) = S(n)(1-q), d'où la formule)

La suite en découle directement avec Femat.

Eric