Bonsoir
Des questions me turlupinent depuis un bout de temps.
Pourquoi arctan(x) correspond à la somme de k allant de 0 à n de -1 à la puissance k multiplié par le quotient x/(2k+1)?
Comment retrouver le binome de Newton?
Pourquoi la somme de k allant de 0 à n des k^2 est égal au quotient n(n+1)(2n+1)/6?
Y en aurait plein d'autre mais celle ci suffiront deja à satisfaire ma curiosité.
Merci d'avance pour vos réponses et au revoir.
Bonsoir,
Pour ce qui est de l'arctangente, attention, ta formule est juste une approximation. Par contre, en faisant tendre n vers + l'infini, si |x|<=1, alors ta formule donne en effet arctan(x). Cependant, pour voir d'où ça vient, tu as besoin de notions sur les développements limités, les séries et notamment les séries entières (Lien wikipédia pour les développements limités).
Le binôme de Newton se prouve notamment par récurrence (techniquement plus facile je trouve) ou par une démonstration combinatoire (dans laquelle on voit peut-être mieux d'où viennent les coefficients (k parmi n)).
Pour la troisième formule, encore une fois tu peux le prouver par récurrence (il existe aussi un moyen utilisant un polynôme et une somme télescopique).
En espérant t'éclairer,
Silk
Merci pour tes réponses.
Je cherche justement les demonstrations qui permettent de retrouver la proposition et non pas de la vérifier donc pas de récurrence par exemple.
Je suis maintenant en prepa PCSI donc j'ai vu et revu les démonstration par récurrence et je cherchais ainsi une autre demonstration qui permet de retrouver la formule.
Ca m'intéressais de savoir comment les mathématiciens du 15 ème siècle et moins pouvaient aboutir à de tel trouvailles.
Pour le binôme de Newton, tu peux mettre bout à bout le produit (a+b).(a+b)...(a+b) n fois et effectuer. Tu vas prendre un a dans le premier, un b dans le second et ainsi de suite n fois. Tu verras que le terme en a^p résulte d'une combinaison de p termes parmi n. D'où la formule avec les Cn,p. Ca réclame un peu de soin.
Ensuite, comme dit par silk78, la somme des i^p peut se calculer en trouvant le polynôme P tel que P(x+1) - P(x) = x^p. Ca revient régulièrement dans ce forum.
Ca marche pour toutes les puissances p.
La récurrence, c'est très bien dans le monde scolaire mais ça marche aussi en découverte. Seulement, l'intuition est parfois laborieuse.
Je ne suis pas très bon quand il s'agit de formuler des preuves combinatoires, mais je vais quand même essayé d'expliquer l'idée du binôme de Newton.
On commence par développer (x+y)n : pour chaque terme, on prend k fois x et j fois y, soit un terme en xkyj. Comme on choisit à chaque fois x ou y parmi les n facteurs, on doit avoir k+j=n, donc (x+y)n est une somme de termes de la forme xkyn-k.
Reste à savoir combien de fois chacun de ces termes apparait dans le développement, et c'est là qu'on utilise les coefficients binomiaux. En effet, pour obtenir xkyn-k, c'est que l'on a pris k fois le nombre x parmi les n possibilités, et le nombre de fois que l'on peut prendre k éléments parmi n, c'est le coefficient binomial Cnk.
A là fin, comme il est clair que l'on ne peut pas prendre x moins de 0 fois et plus de n fois, on somme tous les termes possibles, en comptant le nombres de fois qu'ils apparaissent et on trouve :
Pour ce qui est de la somme des carrés, je te propose l'idée d'une démonstration n'utilisant pas la récurrence :
1) Trouver un polynôme P de degré trois tel que P(X+1)-P(X)=X² (en fait, une petite étude préliminaire permet de prouver qu'un tel polynôme existe et qu'on peut le chercher sans coefficient constant, soit sous la forme P(X)=aX3+bX²+cX)
2) Factoriser ce polynôme
3) En déduire une expression de
Edit: Jeanpaul est visiblement passé avant moi ^^
