impulsion de Dirac (fonction)

[invitea3257206]

bonjour!
svp j'aimerai savoir comment exprimer l'impulsion de Dirac (fonction de Dirac) et de calculer sa transforme de Fourier.
merci
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[KerLannais]

Mathématiquement on définit la pic de Dirac comme une distribution. On définit la transformée de Fourier pour les distributions tempérées, mais bon puisque le pic de Dirac est à support compact c'est clairement une distribution tempérée. L'espace des distributions tempérées est par définition (du moins c'est une des définitions possibles) le dual de l'espace de Schwartz des fonction qui sont ainsi que toutes leurs dérivées à décroissance rapide. La transformation de Fourier est alors défini par dualité (puisqu'elle est trivialement bien définie sur l'espace de Schwartz).

Si tu n'est pas familier de la théorie des distributions le paragraphe qui précède doit être du chinois pour toi.

Intuitivement, la raison pour laquelle on introduit les distributions et pourquoi le Dirac ne peut être une fonction est que on a une théorie de l'intégration qui permet de calculer des intégrale et qui est telle que, si on modifie la valeur d'une fonction en un point cela ne change pas la valeur de son intégrale, même si la valeur de la fonction en ce point est infinie. En particulier la fonction qui vaut 1 en un point et 0 partout ailleurs et même la fonction qui vaut l'infini en un point et 0 partout ailleurs (qui existe bien en math) n'est qu'une modification de la fonction nulle en un point et donc son intégrale est nulle. Ce n'est pas ce qu'on veut pour le Dirac qui doit avoir une intégrale égale à 1 (il est de masse 1).

Est-ce que les distributions existent parce que notre théorie de l'intégration est nulle ? bah en y réfléchissant bien on ne peut pas trop faire autrement. Il est naturel que l'intégrale d'une fonction en un point soit nulle si cette valeur est finie, puisque si tu découpe ton intégrale à l'aide de relations de Chasles pour garder des intervalles de plus en plus petits autour d'un point tu dois obtenir une suite d'intégrale qui tends vers 0 puisque sinon l'intégrale de ta fonction qui est la somme de tout les morceaux que tu as enlevé, tu peux en avoir une infinité (un nombre arbitraiment grand), est infinie (si tu suppose par l'absurde que la valeurs de l'intégrale ne tends pas vers 0 lorsque que tu regarde l'intégrale de ta fonction sur des intervalles de plus en plus petits autour d'un point.

Maintenant on pourrait se dire que si on peut permettre que les fonctions puissent prendre des valeurs infinies alors on peut résoudre ce problème. En fait ce n'est pas le cas, le problème est que la seule façon que des intégrales de fonctions prenant des valeurs infinies soient définissables sans incohérence (une incohérence pourrait rendre possible la démontration de ce qui est très mauvais) est de prendre une convention un peut brutale que ce qui entraine que l'intégrale d'une fonction qu'on modifie en un point même par une valeur infinie ne change pas. Le problème vient du fait qu'on a pas un infini mais une infinité d'infiniment grands, c'est la raisons pour laquelle il y a des formes indéterminées aux niveaux des limites. Par exemple est indéterminée puisque le produit d'un infiniment petit par un infiniment grand peut prendre plusieurs valeurs suivant les infiniments petit et les infiniments grand que l'on choisit. Autrement dit on peut trouver des exemple de fonctions et telles que


et

(ou n'importe qu'elle valeur y compris l'infini)




donc au mieux la valeur d'une intégrale qui prend des valeurs infinie est indéterminée. Si tu t'amuse à ajouter naïvement l'infini aux autres nombres tu peux arriver à des calculs du genre

et donc



Il y a une description mathématiquement correcte des infiniment grands et des infiniments petits dans la théorie de l'analyse non standard et à partir de là il doit être possible de définir des fonctions à valeurs infiniment grandes et infiniment petites et une théorie de l'intégration qui va avec qui permettrait de définir le Dirac comme une fonction qui vaut un certain infiniment grand en un point et 0 partout ailleurs. Mais on ne fait que déplacer le problème car la manipulation des infiniments petits et infiniment grands mathématiquement corrects est au moins aussi compliquée que la théorie des distributions.

L'idée de la théorie des distributions est que les distributions sont des fonctions généralisées qui prennent des valeurs en des points (comme des fonctions) mais que ces valeurs puissent avoir un certain "poids" ou "pouvoir" qui fait qu'elle vont pouvoir s'exprimer dans une intégrale et changer sa valeur.

Par exemple le pic de Dirac sera tel que

pour toute fonction et où l'intégrale est ici généralisée, dans ce cas on préfère souvant la noter autrement à l'aide d'un crochet appelé crochet de distribution. On notera plutôt


Il suffit de remarquer que pour une fonction suffisament régulière (par exemple intégrable et nulle en dehors d'un borné) les différentes valeurs

lorsqu'on fait varier parmis l'ensemble des fonctions , permettent de caractériser la fonction (i.e. ont peut retrouver à l'aide de ces valeurs la fonction qui a été utilisée dans toute ses intégrales)
pour se dire que l'on pourrait définir une fonction en préscrivant la valeur de tous ses crochets. Bien sûr certains ensembles de valeurs de crochets ne peuvent pas correspondre à une fonction qui existe on dit alors que cela correspond à une fonction généralisée qu'on appelle distribution. Cela permet de définir par la valeur de ses crochets

et de généraliser l'intégrale par le crochet en une nouvelle intégrale pour les fonctions et les distributions telle que les distributions puissent avoir des valeurs ponctuelles qui "s'expriment".

Lorsque l'on veut étendre une certaine opération T sur les fonctions aux distributions (par exemple la transformée de Fourier) On commence par trouver l'opération duale S telle que pour une fonction classique, on ait pour toute fonction (avec la bonne régularité ... on appelle ces fonctions des fonctions test)

(autrement dit on fait passer l'opération de l'autre coté du crochet)
de sorte que l'on puisse utiliser cette égalité pour étendre la définition à ditribution (puisque le membre de droite est alors encore bien défini puisque f est régulière et donc Sf se calcule de façon classique).

Par exemple pour la dérivation

l'opération duale est

puisque pour deux fonctions et régulières

(ce n'est rien d'autre que l'intégration par partie, l'intégrale se fait sur tout entier)

et donc on peut dériver le Dirac. Pour la transformée de Fourier tu peut réfléchir à qu'elle est la transformation qui est telle que pour toutes fonctions régulières et


...

mais bon je te conseille de ragarder un cours de distribution parce ce que je t'ai dit est imprécis et il faudrait en dire beaucoup plus et sur un forum ce n'est pas trop faisable.