Complétude et caractérisation des compacts dans un corps valué

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je cherche à savoir si l'équivalence suivante est correcte (avec (K,|.|) un corps valué, que l'on peut donc considérer comme un K-espace vectoriel normé de dimension 1) : les compacts de K sont les fermés bornés ssi K est complet.

L'implication se montre simplement : on considère une suite de Cauchy, on peut considérer qu'elle prend ses valeurs dans un fermé borné, donc dans un compact, d'où on déduit qu'elle admet une valeur d'adhérence, et donc qu'elle converge ; K est ainsi complet.

Mais je ne sais pas trop pour la réciproque : si on considère un fermé borné, il est compact ssi il est complet et précompact ; il est complet, puisque c'est un fermé dans un complet (K). Pour la précompacité, j'aurais tendance à dire qu'elle pourrait découler du caractère borné de l'ensemble et de la structure d'espace vectoriel, mais je n'ai pas réussi à aboutir.

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invite4ef352d8]

Salut !

non il existe des corps valué complet qui ne sont pas localement compact. typiquement le coprs des série de Laurent formelle sur un coprs infini, ou Cp, bien la complétion de la cloture algébrique de Qp.


un coprs valué complet est localement compact si et seulement si :
1) sa valuation est discrète (à valeur dans un sous groupe discret de R)
2)son corps résiduel est fini.

(note que dans ce cas, fermé borné sont compact <=> localement compact... )

[Seirios]

La valuation ne devrait-elle pas justement ne pas être discrète ? Parce que est bien un corps valué complet, localement compact, avec une valuation qui n'est pas discrète, non ? (ou alors je ne comprends le discret correctement)

Sinon, où peut-on trouver la démonstration de ce résultat ? Dans un Bourbaki également ? (je vais à la BU demain)

[invite4ef352d8]

attention dans le résultat précedant, "valué" signifiait "équipé d'une valuation" (ce qui est équivalent à la donnée d'une valeur absolue ultramétrique) et non pas d'une valeur absolue, il s'agit donc des corps non archimédien ce qui élimine le cas de R et C.


cela dit, le cas archimédien est traité par le résultat suivant (plus difficile ) : les seuls corps archimédiens complet localement compact sont R et C.
(le cas non archimédien est relativement simple, si mes souvenir sont bon, il s'agit d'argument de compacité très simple... )

Finalement, munie de tout ces résultats, on sait completement classifié les corps complet localement compact (je ne suis même pas sur qu'il faille supposer qu'il sont équipé d'une valeur absolue pour que ca fonctionne... une topologie non discrète est peut-etre suffisante, mais je n'en suis pas sur ) sont :

- R et C
- Qp et ses extensions finies pour un nombre premiers p.
- Fq((X)) le corps des série de laurent formelle sur un corps fini (et ses extensions fini... mais il me semble qu'elles sont toute isomorphe à un Fq((X)) pour un autre X et un autre q... )


pour ce qui est des démonstrations de ces résultat... je sais pas trop ... ce sont des résultat qu'on voit en général en théorie des nombres... mais je pense que ca doit être traité dans Serre "corps locaux" au moins pour le cas non-archimédien... je pense pas que ca soit dans bourbaki (mais bon, je connais pas bourbaki par coeur donc j'en sais rien ^^ )

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