Espace de Banach séparable

[invited163a53f]

Bonjour à tous,

Je suis à la recherche d'exemples d'espaces de Banach séparables. Plus précisément, il faut en plus que tout espace réflexif se plonge dedans (mais si j'ai déjà des exemples d'espaces de Banach séparables, cela sera déjà bien)!

Je vous remercie.
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[thepasboss]

Bonjour,

Euh je n'ai pas vérifié (et je n'ai à vrai dire pas le temps là tout de suite), mais C([0,1],R) avec comme suite dense les polynômes à coef rationnels ça ne marche pas ?

[invite4ef352d8]

tout les espace l^p de suite de puissance p-iemme sommable sont séparable (les suite à support fini est valuer rationelle forme un famille séparable dense)

en revanche le fait que tout espace réflexif ce plonge dedans me parait très douteux, qu'est ce qui te fais croire qu'une telle choses pourait exister ?

[Arkhnor]

Bonjour.

Il y a énormément d'espaces qui interviennent en analyse qui sont séparables, et c'est très appréciable.
On a les espaces de dimension finie, les espaces lorsque X est un compact métrisable, les avec lorsque est une mesure finie sur les compacts sur un espace localement compact métrisable et séparable (par exemple la mesure de Lebesgue sur un ouvert de ), on a encore les espaces de suites signalés par Ksilver, on a les espaces de Sobolev, etc ...

Quant à ta seconde question, ça me parait douteux. Comme tout sous-espace d'un espace séparable est encore séparable, ça voudrait dire que tous les espaces réflexifs sont séparables, or c'est faux.
Après, si l'on cherche seulement un espace séparable dans lequel on peut plonger tous les espaces réflexifs séparables, je ne sais pas trop. Regarde dans un livre de géométrie des espaces de Banach, comme le Lindenstrauss-Tzafriri, tu y trouveras peut-être une réponse ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited163a53f]

Merci beaucoup pour tous ces exemples! C'est bien parfois d'avoir quelques idées en tête parce que sinon, tout cela reste très théorique.

Je cherchais un espace de Banach séparable dans lequel tout réflexif se plonge car j'avais entendu parler à un séminaire d'un théorème à propos de cela et ça m'intriguait... Mais j'ai peut-être mal pris note simplement!

[invite4ef352d8]

Peut-être un espace séparable dans lequel ce plonge tout espace séparable réflexif... mais sinon il me semble qu'il existe des espaces réflexif arbitrairement grand, et donc que c'est absurde de penser qu'on peut tous les plonger dans un même espace...

[Arkhnor]

Je pense qu'il s'agissait du théorème de Banach-Mazur, qui affirme que tout espace de Banach séparable est isométriquement isomorphe à un sous-espace fermé de .

Mais il n'y a aucun rapport avec la réflexivité, donc ce n'est peut-être pas ça non plus ...