espace de Hilbert séparable et base orthonormale

[invite769a1844]

Bonsoir,

voilà un théorème dont je ne vois pas commencer la démo:

Théorème: (Représentation suivant une base orthonormale en dimension infinie)

Soit un -espace de Hilbert séparable de dimension infinie et soit la norme associée.
Soit une base orthonormale et soit pour tout entier la forme linéaire avec

pour tout .

Alors la forme -linéaire est continue et pour tous :

(a) la série vectorielle converge dans et ;

(b) la série numérique converge dans et , égalité dite de Parseval;

(c) la série numérique converge dans et .



Pour la (a), déjà, je ne vois pas comment faire.

Merci pour votre aide.
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[invite4ef352d8]

Salut !

L'énoncé est faux (ou en tous cas tres imprecis...) : Un espace de Hilbert ne peut pas admettre de base dénombrable. Vk n'est pas une base mais une base de Hilbert, c'est à dire une famille qui engendre un sous espace dense de H.

Le fait que H soit séparable ne te servira pas dans la suite. la séparabilité sert juste à assurer qu'il existe une base de hilbert dénombrable (c'est équivalent...)

Apres ca va dépendre de ce que tu sais sur les espaces de Hilbert... la propriété a est quand meme surement dans ton cours non ?

[invite769a1844]

Salut !

L'énoncé est faux (ou en tous cas tres imprecis...) : Un espace de Hilbert ne peut pas admettre de base dénombrable. Vk n'est pas une base mais une base de Hilbert, c'est à dire une famille qui engendre un sous espace dense de H.

Le fait que H soit séparable ne te servira pas dans la suite. la séparabilité sert juste à assurer qu'il existe une base de hilbert dénombrable (c'est équivalent...)

Apres ca va dépendre de ce que tu sais sur les espaces de Hilbert... la propriété a est quand meme surement dans ton cours non ?

Bonjour Ksilver,

oui pardon c'est pas une base algébrique, c'est une base de Hilbert, c'est un théorème du cours qui n'a pas été montré. On a cependant démontré juste avant un théorème analogue pour le cas de la dimension finie.
Après je suis d'accord, la séparabilité sert juste à assurer l'existence d'une telle famille .

[invite4ef352d8]

Bon dans ce cas va falloir mettre un peu les mains dedans...

On va noter Vi = vect(v1...vi)
et Ui la somme partielle de ta série.

est tu d'accord que Ui est le projeté orthogonal de x sur Vi ?

si oui alors on obtiens imédiatement que ||Ui-x|| = distance de x a Vi qui est donc une suite décroissante donc convergente, et si elle tant vers autre chose que 0 ca veux dire que x reste à distance non nul de l'union de Vi qui est sencé etre dense dans H, c'est contradictoire !

d'ou Ui->x

pour la b, Ui->c, donc ||Ui||² ->||x||²

pour la c, appelons Xi la suite "Ui" du point x et Yi celle du point Y, on a Xi->x, Yi->y donc (Xi|Yi) ->(x|y)
et (Xi|Yi) correspond à la somme partielle de la série qu'on te demande d'étudier...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

ok ça me paraît plus clair, je vais rédiger ça, si j'ai d'autres questions je reviens.

Merci Ksilver