Une base orthonormale

[GuYem]

Je reviens avec une question que j'espère un peu plus précise cette fois.

J'ai nombre réels distincts. J'appelle le vecteur de R^n défini par et cela pour i de 0 à n-1.

D'après Vandermonde, cette famille de vecteurs forme une base de R^n. Je munie R^n de son produit scalaire canonique.

Je cherche tous les renseignements que vous pourrez me donner sur la base résultant du procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt sur la base

En particulier : a-t-elle un nom ? A-t-on des majorations sur les normes de ses vecteurs ? Peut-on choisir les de manière à ce qu'elle soit simple ? etc...

Merci d'avance de votre aide.
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[inviteb3540c06]

bonjour

essaie de faire une recherche sur le net , des fois ça peut servir

cordialement

[GuYem]

C'est ce que je suis en train de faire en demandant ici...

[inviteb3540c06]

ah! c'est vrai que la page du forum ressemble à celle de google ,excuse moi je ne l'avais pas remarquer :

Non mais franchement !!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

ah! c'est vrai que la page du forum ressemble à celle de google ,excuse moi je ne l'avais pas remarquer :

Non mais franchement !!!

"Non mais franchement !!!"

Merci à ceux qui pourront m'aider.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je sais pas ce que veut dire Poinserré, mais en tout cas, je ne pense pas que ce soit facile de trouver ça sur internet.

En tout cas, je n'ai jamais vu de tels énoncés, et si ça existe, ça doit être dans des exos bourrins de concours, à moins que ça ait une signification particulière quelque part.

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rvz, désolé pour l'aide inutile

[inviteb3540c06]

oui désolé ,je me suis peut être emporter un peu vite tout à l'heure ,car en effet ,j'ai essayer de voir ce que ça donne sur google ,et ma foi ,il n'y a pas grand chose sur la base résultant du procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt sur la base
.

j'espère que GuYem ne m'en veut pas trop

cdlt

[inviteb3540c06]

peut être que c'est une base hilbertienne

[inviteb3540c06]

y a t il une personne sur le forum capable d'éclairer nos lanternes

merci
cdlt

[inviteb3540c06]

j'ai l'impression que non

cdlt

[inviteb3540c06]

bonsoir GuYem,

j'espère que tu vas trouver une personne qui puisse te répondre,quant à moi il faut avouer que je n'ai pas encore le niveau requis pour t'apporter une réponse ou une indication

Cordialement

[GuYem]

Merci de votre aide.

Pour répondre à rvz, cela ne sort pas d'un concours, mais d'un problème qui se pose à moi pour le moment.
J'ai cherché dans des bouquins d'algèbre, d'analyse numérique (ça a rapport avec de l'interpolation polynômiale comme tu peux t'en douter) et autres mais je n'ai pas trouvé de résultats.

Je voudrais savoir si cette base est "connue", ie si elle a déjà été étudiée et si on connait quelques propriétés sur elle.
De plus, je peux choisir les x_i comme je veux, je me disais qu'un choix judicieux allait amener une orthonormalisée simple, mais je crois m'être trompé là-dessus...

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Sauf erreur, qu'une famille de vecteurs est orthogonale (ce qui est un bon début pour l'orthonormalité) ssi la matrice M où tu mets les dits vecteurs en colonne satisfait
tr(M) M est diagonale.

Même avec deux points, et donc seulement deux vecteurs, j'ai peur que ce critère soit un peu laid, encore que probablement lié à des fonctions symétriques en x_1, x_2. Essaye peut-être avec 3 vecteurs, mais ça va donner 3 équations polynômiales symétriques en x_1, x_2, x_3. A part dire que c'est un fermé algébrique, je ne sais pas trop quoi en dire... (help les autres ?) Sinon qu'il est non vide si tu regardes ça dans l'espace projectif associé et sur un corps algébriquement clos, c'est bien ça ?

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rvz

[Médiat]

Essaye peut-être avec 3 vecteurs, mais ça va donner 3 équations polynômiales symétriques en x_1, x_2, x_3. A part dire que c'est un fermé algébrique, je ne sais pas trop quoi en dire... (help les autres ?) Sinon qu'il est non vide si tu regardes ça dans l'espace projectif associé et sur un corps algébriquement clos, c'est bien ça ?

Sauf erreur de calcul en dimension 3 c'est déjà impossible car il faudrait et , donc doivent être trois racines réelles différentes du polynôme ...

[GuYem]

Houla, je ne vous suit plus là !

[invite6b1e2c2e]

Euh, en tout cas, je ne trouve pas la même chose que Mediat.
Sauf erreur, avec deux points, la condition est :
ab + (ab)^2 = 0 => ab = -1 (ab=0 implique a ou b nul, et donc ce n'est pas une base)
Et avec 3 points, les conditions sont
x+ x^2+x^3 = 0, pour x = ab, ac et bc. Et donc là, je ne sais pas le résoudre.

Pour Guyem, en gros, on écrit juste les conditions d'orthogonalité, qui sont des polynômes en les x_i. Du coup, ton ensemble, eh ben, c'est un fermé algébrique, ce qui ne va pas beaucoup t'aider sauf si tu connais bien la géométrie algébrique (ce qui n'est pas mon cas). Sinon, c'est quand même étonnant de remarquer que tes conditions peuvent t'écrire assez simplement (ou alors j'ai craqué, et faut demander à Médiat.)

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rvz

[Médiat]

Si j'ai bien compris :




Les conditions d'orthogonalité entre et d'une part et et d'autre part s'écrivent :

a + b + c = 0 et a² + b² + c² = 0, en élevant au carré la première de ces égalités on en déduit ab + bc + ca = 0.
Le polynome (x - a)*(x - b)*(x - c) dont les racines sont a, b et c s'écrit :



Désolé si je me suis planté quelque part...

[GuYem]

Euuh, je ne veux pas que la base X soit orthonormale, je ne crois pas que ce soit possible d'ailleurs sauf si n=2. (Mediat a démontre cette impossibilité pour n=3)

Je veux des renseignements sur la base obtenue à partir de X après orthonormalisation de Gram-Schmidt.

[invite6b1e2c2e]

Non, non, tu ne t'es pas planté, c'est juste que nous ne considérons pas les mêmes bases.

Pour moi, X_1= (a,b,c), X_2 = (a^2, b^2, c^2) comme toi, mais mon dernier vecteur de base est X_3 = (a^3,b^3,c^3). Mais à la relecture, je pense que ton choix de base est certainement plus approprié pour Guyem.

__
rvz

[memphisto]

bonjour, voici quelques liens sur le procédé d'orthonormalisation de gram-schmidt:

http://serge.mehl.free.fr/chrono/Schmidt.html
http://fr.wikipedia.org/wiki/Proc%C3...e_Gram-Schmidt
http://perso.univ-rennes1.fr/annette.../gramschmi.pdf

aller un ptit algorithme d'othonormalisation écrit en c:

http://www.cppfrance.com/code.aspx?ID=30952

Tiens aussi un ptit exo: http://sma.epfl.ch/~hess/alglin/AlgL...es/Serie18.pdf
avec son corrigé: http://sma.epfl.ch/~hess/alglin/AlgL.../Corrige18.pdf
tout deux pris dans une série d'exos d'algèbre dont je met le lien ici (ça pourra peut etre vous servir): http://sma.epfl.ch/~hess/alglin/AlgLin0607_files/

PS: c'est juste les premiers lien de la recherche google suivante :http://www.google.fr/search?hl=fr&sa...chmidt&spell=1

[GuYem]

Merci de ces liens memphisto, je vais voir si il y a quelque chose d'intéressant là-dedans.

Pour rvz, c'est bien la base dont le premier vecteur est (1,1,...,1) que je veux orthonormaliser.

[invite6b1e2c2e]

Euuh, je ne veux pas que la base X soit orthonormale, je ne crois pas que ce soit possible d'ailleurs sauf si n=2. (Mediat a démontre cette impossibilité pour n=3)

Je veux des renseignements sur la base obtenue à partir de X après orthonormalisation de Gram-Schmidt.

Bon d'accord, on a un peu dévié, mais je croyais qu'à un moment, tu t'étais posé cette question.

Sinon, après orthonormalisation Gram-Schmidt, je suppose que le mieux est de se faire une idée pour des n petits, mais j'ai peur de ne pas pouvoir t'aider plus si tu ne dis pas quels genres de renseignements tu cherches.

__
rvz

[GuYem]

Oui, pour des n petits, ça fait des trucs un peu tordus.

Bien le mieux en fait serait d'avoir une formule fermée pour la nouvelle base, qui ferait surement intervenir des polynômes symétriques dans tous les sens.

C'est vrai que ce que je veux n'est pas défini clairement, et pour cause, je ne sais pas trop ce que je veux, disons que je voudrais la controler un peu mieux que de dire simplement "c'est l'orthonormalisée de X".