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Parité du rang d'une matrice



  1. #1
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Post Parité du rang d'une matrice


    ------

    Bonjour,

    Voilà je bloque sur cet exo :
    A est une matrice carré réelle d'ordre n.
    On donne un polynome annulateur de A : X³+X²+X=0
    Il faut montrer que A est de rang pair.
    Bon voici ce que je pense qu'il faut faire :
    Le polynome X*(X²+X+1) est scindé à racines simples sur C, le spectre étant {0,j,conj(j)} (ou conj est le conjugué). Donc A est diagonalisable. Donc le noyau de A est de dimension l'ordre de multiplicité de 0 c'est à dire 1. Donc le rang est de dimension n-1. Il faut donc montrer que n est impaire.

    Bon là je sais qu'il faut étudier le polynome caractéristique en +infini et -infini.
    Caractéristique(A)(x) est équivalent en l'infini à (-x)^n. Et là je ne sais plus comment on conclu sur le fait que n doit être impair...

    Merci de votre aide !

    -----

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  3. #2
    erff

    Re : Parité du rang d'une matrice

    Salut, moi je serais parti autrement en disant que le rang de A était la somme des multiplicités de j et de _j (conjugué).
    En fait, il suffit de voir qu'elles ont la meme multiplicité.

    - Soit X dans le sous espace propre :
    alors AX=jX donc en conjuguant _A_X=_j*_X => A_X=_j_X vu que A est reelle

    Donc si X est dans le ss espace de j, alors _X est dans le ss espace de _j (idem dans l'autre sens)

    Du coup ces 2 ss espaces propres ont la meme dimension donc le rang de A est pair...

  4. #3
    GuYem

    Re : Parité du rang d'une matrice

    Citation Envoyé par erff Voir le message
    Salut, moi je serais parti autrement en disant que le rang de A était la somme des multiplicités de j et de _j (conjugué).
    En fait, il suffit de voir qu'elles ont la meme multiplicité.

    - Soit X dans le sous espace propre :
    alors AX=jX donc en conjuguant _A_X=_j*_X => A_X=_j_X vu que A est reelle

    Donc si X est dans le ss espace de j, alors _X est dans le ss espace de _j (idem dans l'autre sens)

    Du coup ces 2 ss espaces propres ont la meme dimension donc le rang de A est pair...
    Ca c'est bien vu
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #4
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Parité du rang d'une matrice

    Oki merci erff..

  6. #5
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Parité du rang d'une matrice

    Encore moi. J'ai un doute en fait. J'ai marqué que le spectre était {0,j,conj(j)} mais normalement, on doit dire que le spectre de A est inclus dans cet ensemble. Comment savoir que toutes les valeurs propres apparaissent ?

    Merci

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Parité du rang d'une matrice

    Bon j'ai peut être trouvé.
    Le spectre complexe étant toujours non vide. On sait qu'il y a un moins une valeur. En fait 0 peut très bien ne pas être valeur propre, le résultat tient toujours (la somme des multiplicités est toujours paire).
    j et _j étant simultanément dans le spectre :
    - si j n'est pas dans le spectre, alors _j non plus. C'est donc la matrice nulle, son rang est nul, il est bien pair.
    Si 0 n'est pas valeur propre. On a nécessairement j (ou _j) et donc j_ (ou j) dans le spectre puisqu'il est non vide.

    Est-ce correct ?

    Merci

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  10. #7
    GuYem

    Re : Parité du rang d'une matrice

    Ca me parait bon modulo ce petit problème : comment justifies-tu que si j est dans le spectre, alors son conjugué aussi ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  11. #8
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Parité du rang d'une matrice

    Bah si A est réel, on l'a montré au dessus :
    Si :

    alors :

    (en conjuguant)

    Par contre, si A est complexe...

  12. #9
    GuYem

    Re : Parité du rang d'une matrice

    Ah oui en effet c'est bon.

    Bin A est réelle, c'est précisé dans l'énoncé.

    A toi de trouver un contre exemple d'une matrice complexe, qui est annulé par ton polynome et dont le rang est impair.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  13. #10
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Parité du rang d'une matrice

    Par exemple la matrice :
    Dernière modification par Ayrawhsia Aathsir Tia ; 15/05/2007 à 11h15.

  14. #11
    GuYem

    Re : Parité du rang d'une matrice

    Bien joué, ça marche.

    Parce que j est valeur propre, mais pas _j. Do'ù l'importance du mot "réelle" dans ton énoncé.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  15. #12
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Parité du rang d'une matrice

    En fait je l'ai trouvé en prenant la matrice compagne d'un diviseur du polynôme X³+X²+X

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