Parité du rang d'une matrice

[invitea87a1dd7]

Bonjour,

Voilà je bloque sur cet exo :
A est une matrice carré réelle d'ordre n.
On donne un polynome annulateur de A : X³+X²+X=0
Il faut montrer que A est de rang pair.
Bon voici ce que je pense qu'il faut faire :
Le polynome X*(X²+X+1) est scindé à racines simples sur C, le spectre étant {0,j,conj(j)} (ou conj est le conjugué). Donc A est diagonalisable. Donc le noyau de A est de dimension l'ordre de multiplicité de 0 c'est à dire 1. Donc le rang est de dimension n-1. Il faut donc montrer que n est impaire.

Bon là je sais qu'il faut étudier le polynome caractéristique en +infini et -infini.
Caractéristique(A)(x) est équivalent en l'infini à (-x)^n. Et là je ne sais plus comment on conclu sur le fait que n doit être impair...

Merci de votre aide !
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[erff]

Salut, moi je serais parti autrement en disant que le rang de A était la somme des multiplicités de j et de _j (conjugué).
En fait, il suffit de voir qu'elles ont la meme multiplicité.

- Soit X dans le sous espace propre :
alors AX=jX donc en conjuguant _A_X=_j*_X => A_X=_j_X vu que A est reelle

Donc si X est dans le ss espace de j, alors _X est dans le ss espace de _j (idem dans l'autre sens)

Du coup ces 2 ss espaces propres ont la meme dimension donc le rang de A est pair...

[invitedf667161]

Salut, moi je serais parti autrement en disant que le rang de A était la somme des multiplicités de j et de _j (conjugué).
En fait, il suffit de voir qu'elles ont la meme multiplicité.

- Soit X dans le sous espace propre :
alors AX=jX donc en conjuguant _A_X=_j*_X => A_X=_j_X vu que A est reelle

Donc si X est dans le ss espace de j, alors _X est dans le ss espace de _j (idem dans l'autre sens)

Du coup ces 2 ss espaces propres ont la meme dimension donc le rang de A est pair...

Ca c'est bien vu

[invitea87a1dd7]

Oki merci erff..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea87a1dd7]

Encore moi. J'ai un doute en fait. J'ai marqué que le spectre était {0,j,conj(j)} mais normalement, on doit dire que le spectre de A est inclus dans cet ensemble. Comment savoir que toutes les valeurs propres apparaissent ?

Merci

[invitea87a1dd7]

Bon j'ai peut être trouvé.
Le spectre complexe étant toujours non vide. On sait qu'il y a un moins une valeur. En fait 0 peut très bien ne pas être valeur propre, le résultat tient toujours (la somme des multiplicités est toujours paire).
j et _j étant simultanément dans le spectre :
- si j n'est pas dans le spectre, alors _j non plus. C'est donc la matrice nulle, son rang est nul, il est bien pair.
Si 0 n'est pas valeur propre. On a nécessairement j (ou _j) et donc j_ (ou j) dans le spectre puisqu'il est non vide.

Est-ce correct ?

Merci

[invitedf667161]

Ca me parait bon modulo ce petit problème : comment justifies-tu que si j est dans le spectre, alors son conjugué aussi ?

[invitea87a1dd7]

Bah si A est réel, on l'a montré au dessus :
Si :

alors :

(en conjuguant)

Par contre, si A est complexe...

[invitedf667161]

Ah oui en effet c'est bon.

Bin A est réelle, c'est précisé dans l'énoncé.

A toi de trouver un contre exemple d'une matrice complexe, qui est annulé par ton polynome et dont le rang est impair.

[invitea87a1dd7]

Par exemple la matrice :

[invitedf667161]

Bien joué, ça marche.

Parce que j est valeur propre, mais pas _j. Do'ù l'importance du mot "réelle" dans ton énoncé.

[invitea87a1dd7]

En fait je l'ai trouvé en prenant la matrice compagne d'un diviseur du polynôme X³+X²+X