soit T0 (X)=1, T1 (X)=X et en suite Tn+1 (X)=2XTn (X)-Tn-1 (X).
Pouver que la famille (T0,T1....Tn) est une base de R[X].Voila l'ultime question du DM que j'ai à rendre pour la rentrée.
Il faut montrer qu'elle est libre et génératrice mais je ne sais vraiment comment m'y prendre.
Merci d'avance.
Je suis pas très doué par rapport à ce genre d'exercice, mais ne peut-on pas prouver que pour tout entier naturel n et m distincts, deg(Tn) différent de deg(Tm), et que de plus pour tout entier naturel p, il existe n tel que deg(Tn)=p ?
C'est juste une idée que je soumet, je ne sais pas si ça peut mener au bon résultat.
On dirait les polynômes de Tchebychev!
Tu prouves par récurrence que deg(Tn)=n et c'est fini!
Idée excellente, après un petit coup de théorème de la base aux degrés étagés et c'est bon
Maintenant, question annexe : démontrez le théorème de la base aux degrés étagés.
Enoncé
Soit*famille libre de
(i) Pour tout entier n différent de m,
(ii) Pour tout entier n, il existe i entier naturel tel que
Alors
A vos claviers !
J.oker ?
Indian a raison.
D'une manière générale si tu prends une famille de polynome qui ont tous des degrés distincts qui recouvrent N entièrement alors c'est une base de R[X].
Ce n'est pas trés dur à prouver à cause justement des degrés.
Dans ton exemple, c'est clairement le cas.
EDIT : grillé :/
en quoi demontrer de c'est de degre n demontre que c'est une base??
le probleme c'est que j'ai jamais vu ce theoreme en sup....
Dites c'est carrément un carambolage ici
Je crois, lorenzorro, que tu as tous les éléments de réponse dans ce post
Tres bien je vous remercie.Ce fut rapide en tout cas !!
Ha bon? Pour démontrer ce théorème, tu démontres d'une part que les polynômes en questions sont libres (tu procèdes par contraposée) et qu'ils sont générateurs ( c'est encore plus simple: (Envoyé par lorenzorro
Bonjour,
ici le mot base signifie base d'un ev de dimension infinie, car je ne pense pas que R[X] soit de dimension finie et donc si on s'arrete au n-ieme polynome on aura un probleme.
Notamment avant de parler de base d'un ev de dimension infinie, il faudrait savoir si ca a un sens....
En fait ca en a toujours un.
Il faut montrer que la famille est libre et generatrice.
Generatrice c'est constructif.
Libre c'est montrer que toute sous famille finie l'est.
A+
