un espace est séparable

[invite0e6de892]

Salut tout le monde

pourquoi on suppose qu'un espace est séparable?

merci d'avance
-----

[KerLannais]

Salut,

Tu veux savoir la définition d'espace séparable? C'est juste un espace métrique qui contient une partie dense dénombrable.

Intuitivement dans ce genre d'espace, pour montrer une propriété qui passe par densité (c-à-d une propriété qui est telle que, si elle est vérifiée pour les élément d'une suite convergente, alors elle est vérifiée pour la limite de la suite) alors pour démontrer la propriété pour tous les éléments de l'espace il suffit de démontrer la propriété pour les éléments de la partie dénombrable (du coup en général c'est plus simple). En effet, comme la partie est dense, pour chaque élément de l'espace, il existe une suite de la partie dénombrable qui converge vers cet élément et comme la propriété passe par densité ... c'est gagné

Il y a plein d'utilisations différentes de l'hypothèse de séparabilité, par exemple on a la propriété:

"Un espace de Hilbert admet une base hilbertienne si et seulement si il est séparable"

(dans le cas où l'espace est non séparable on peut éventuellement travailler avec des bases hilbertiennes non dénombrables dont l'existence est assuré grace à l'axiome du choix, mais là ça devient plus technique et en tout cas pas très pratique)

Dans un tel espace, une propriété linéaire qui passe par densité, est vérifiée pour tous les éléments de l'espace si elle est vérifiée pour tous les éléments de la base.

Tu as aussi la propriété que dans un espace de Banach, la boule unité du dual est métrisable pour la topologie faible * si et seulement si l'espace est séparable et ainsi la conclusion du théorème de Banach-Alaoglu quand l'espace est séparable est que la boule unité du dual est *-faiblement séquentiellement compacte (et il est clair que la compacité séquentielle c'est mieux que la compacité tout court car alors de toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente).

Si tu veux un inventaire d'exemples utilisations de la séparabilité en analyse, je te suggère de regarder des livres ou des sites de préparation d'agreg, sur les leçons "utilisation de la notion de densité", "utilisation de la dénombrabilité en analyse", "espaces de Hilbert", bases hilbertiennes".

[invite4ef352d8]

"espace métrique" >>> espace topologique enfait, on supose pas qu'il est métrique