Suites réelles
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Suites réelles



  1. #1
    Linkounet

    Suites réelles


    ------

    Salut, j'aurais besoin d'aide pour un devoir, j'ai tout essayé, mais je n'y arrive pas...

    Je vous présente les questions et mes réponses :

    1.Soit un et vn deux suites réels, on suppose un > 0 et vn>0 pour tout n>=1 et qu'il existe N>=1 tel que :

    u(n+1)/un <= v(n+1)/vn

    a) Montrer qu'on a : un<=vnuN/vN

    Pas de problèmes, j'ai su le faire grâce à une récurrence sur n>=N


    b)En déduire que si la série somme(vn) converge alors somme(un) converge

    Je l'ai fait grâce au théorème de comparaison.


    2)Soit a >0. Ecrire le développement limité à l'ordre deux suivant les puissances de 1/n de n^a / (n+1)^a


    Le résultat me donne 1 - a/n + a*(a+1)/(2n²) + o(1/n²)


    3/Soit (un) une suite de nombres réels. On suppose un>0 pour tout n >=1 et qu'il existe a et c réels tels que :

    u(n+1)/un = 1-a/n + c/n² + o(1/n²)

    a) Montrer que somme (un) converge si a>1 et diverge si a<1
    b) On suppose maintenant que a = 1. Par comparaison avec une série de terme général 1/(n+d) avec d réel bien choisi, étudier la convergence de la série de terme général un.

    4/ En utilisant le résultat de la question précédente et étant donné a un réel non entier naturel étudier en discutant selon la valeur de a la convergence de la série de terme général un :


    un = (le produit pour k allant de 0 à n-1 des |k-a|) / n!



    Pour la question 3 j'ai tout essayé mais je n'y arrive pas. Je sais qu'il faut utiliser le développement limité mais je ne vois pas comment.
    Merci pour votre aide

    -----
    Dernière modification par Médiat ; 08/02/2011 à 10h21. Motif: Merci de choisir des titres signifiants

  2. #2
    Linkounet

    Re : Suites réelles

    Enfait j'ai réussi à faire la question 3a, en considérant la série vn = 1/n^a et en comparant v(n+1)/vn et u(n+1)/un (j'utilise les questions 1 et 2). Mais je n'arrive pas à faire le cas a =1.

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