Salut, j'aurais besoin d'aide pour un devoir, j'ai tout essayé, mais je n'y arrive pas...
Je vous présente les questions et mes réponses :
1.Soit un et vn deux suites réels, on suppose un > 0 et vn>0 pour tout n>=1 et qu'il existe N>=1 tel que :
u(n+1)/un <= v(n+1)/vn
a) Montrer qu'on a : un<=vnuN/vN
Pas de problèmes, j'ai su le faire grâce à une récurrence sur n>=N
b)En déduire que si la série somme(vn) converge alors somme(un) converge
Je l'ai fait grâce au théorème de comparaison.
2)Soit a >0. Ecrire le développement limité à l'ordre deux suivant les puissances de 1/n de n^a / (n+1)^a
Le résultat me donne 1 - a/n + a*(a+1)/(2n²) + o(1/n²)
3/Soit (un) une suite de nombres réels. On suppose un>0 pour tout n >=1 et qu'il existe a et c réels tels que :
u(n+1)/un = 1-a/n + c/n² + o(1/n²)
a) Montrer que somme (un) converge si a>1 et diverge si a<1
b) On suppose maintenant que a = 1. Par comparaison avec une série de terme général 1/(n+d) avec d réel bien choisi, étudier la convergence de la série de terme général un.
4/ En utilisant le résultat de la question précédente et étant donné a un réel non entier naturel étudier en discutant selon la valeur de a la convergence de la série de terme général un :
un = (le produit pour k allant de 0 à n-1 des |k-a|) / n!
Pour la question 3 j'ai tout essayé mais je n'y arrive pas. Je sais qu'il faut utiliser le développement limité mais je ne vois pas comment.
Merci pour votre aide
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