Bonsoir,

Je cherche à résoudre un exercice qui a pour but d'expliciter la densité de la loi de Student. Mais les deux premieres questions me posent problème :
Rappelons que avec Y~N(0,1) et ~ indépendantes implique ~ Student(k)
1/ Montrer que pour tout , la probabilité que soit exatement égale à t est nulle. En deduire que la loi de n'a pas d'atomes. Peut-on en déduire l'existence d'une densité pour ?X_k
2/ Montrer que, si elle existe, la densité de est une fonction paire

Bien sur on suppose qu'on ne connait pas la densité, car c'est l'objet de l'exercice.

Franchement, je ne suis pas inspiré pour répondre à ces questions :
Pour la 1/ étant continue, il semble évident (en tout cas pour moi) que la proba qu'elle soit exactement égale à t est nulle. Mais je sais aussi que ce n'est pas si evident car je me souviens qu'il est déjà arrivé à mon professeur de le démontrer, mais malheureusement, je n'ai pas pris son "brouillon" en note.
Pour ce qui est de la sous question suivante, je me dis qu'un atome doit avoir une mesure non nulle (or not)? Donc si {=t} peut etre considéré comme un atome, alors il est de mesure non nulle, or ce n'est pas le cas, donc n'a pas d'atome (l'idée est-elle bonne ?).
Pour l'existence d'une densité, la par contre j'ai pas l'ombre d'une idée...
Quant à la 2/ j'ai envie de dire que la densité de la loi normale est paire, que la fonction inverse est impaire, et que par composition avec la racine, on devrait arriver à montrer la parité. Mais cela semble vain car la densité de Z_k n'est pas paire ni impaire...donc mauvaise piste.

Voilà en gros ma réflexion, j'aimerai que vous me guidiez dans la résolution de ces questions.

Merci de votre collaboration