inégaité dans les intégrales

[invite371ae0af]

bonsoir,
pouvez vous m'aider à calculer l'inégalité suivante:


j'ai pensé à découpé l'intégrale en morceaux mais ca ne marche pas
donc je pense qu'on doit partir autrement
pouvez vous m'aider?


merci
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[invitebe08d051]

Salut,

Une comparaison série intégrale ?

[invite392a8924]

bonsoir,
pouvez vous m'aider à calculer l'inégalité suivante:


j'ai pensé à découpé l'intégrale en morceaux mais ca ne marche pas
donc je pense qu'on doit partir autrement
pouvez vous m'aider?


merci

salut

on sait que


donc l'inégalité de départ est équivalente à



d'autre part on sait que d'après le théorème de comparaison que:

équivalent à



tu peut trouver le résultat .

[invite371ae0af]

salut

donc l'inégalité de départ est équivalente à

comment trouves tu cette inégalité?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite392a8924]

comment trouves tu cette inégalité?

compare toi le premier membre avec une intégrale

[invitea3eb043e]

Trace la courbe y=1/x. Tu verras que la somme est l'addition de petits rectangles tandis que l'intégrale est la surface sous la courbe. Dès lors ça devient évident.

[invite371ae0af]

on ne peut pas dire que
car la fonction (1/x) est décroissante sur [1,n]

[invite0b91a80c]

Salut,

pour tout , on a . En intégrant sur l'intervalle , on a donc



En sommant ces inégalités et en utilisant la relation de Chasles, on obtient donc



donc (avec un petit changement d'indice dans la somme)



et enfin, en ajoutant 1 de chaque coté, on a bien

[invitebe08d051]

Salut,

La réponse de StephaneW est typiquement ce qu'on appelle une comparaison série intégrale. Normalement, je pense que ça doit figurer dans ton cours.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Compara...int%C3%A9grale