Series numériques

[invite8211f94f]

Bonjour j'ai, dans le cadre de mes révisions avant les concours, besoin d'étudier la série de terme general:
Un=((-1)^E(n^1/2))/n
où E(n^1/2) représente la partie entière de la racine carrée de n.
Je vous avouerais que je ne sais pas trop par où debuter, évaluer "Un+1/Un" pour voir s'il y a une limite en + l'infini ou transformer Un en une integrale pour ensuite utililser la formule de somme géometrique et d'autres idées mais malheureusement je n'arrive pas à trouver la bonne...

Vive les vacances pendant la prepa..
Merci d'avance et desolé mais les fractions ne sont pas faciles a écrire ^^.
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[invite392a8924]

Bonjour j'ai, dans le cadre de mes révisions avant les concours, besoin d'étudier la série de terme general:
Un=((-1)^E(n^1/2))/n
où E(n^1/2) représente la partie entière de la racine carrée de n.
Je vous avouerais que je ne sais pas trop par où debuter, évaluer "Un+1/Un" pour voir s'il y a une limite en + l'infini ou transformer Un en une integrale pour ensuite utililser la formule de somme géometrique et d'autres idées mais malheureusement je n'arrive pas à trouver la bonne...

Vive les vacances pendant la prepa..
Merci d'avance et desolé mais les fractions ne sont pas faciles a écrire ^^.

salut

on a

et donc le terme général


d'où il vient que




puisque le premier terme représente une série diverge donc ta série est diverge .

[invite392a8924]

Bonjour j'ai, dans le cadre de mes révisions avant les concours, besoin d'étudier la série de terme general:
Un=((-1)^E(n^1/2))/n
où E(n^1/2) représente la partie entière de la racine carrée de n.
Je vous avouerais que je ne sais pas trop par où debuter, évaluer "Un+1/Un" pour voir s'il y a une limite en + l'infini ou transformer Un en une integrale pour ensuite utililser la formule de somme géometrique et d'autres idées mais malheureusement je n'arrive pas à trouver la bonne...

Vive les vacances pendant la prepa..
Merci d'avance et desolé mais les fractions ne sont pas faciles a écrire ^^.

voici la bonne réponse

on a

et donc le terme général


d'où il vient que






puisque le premier terme représente une série diverge donc ta série est diverge .

[invite899aa2b3]

Bonjour,
n'as-tu pas un théorème de sommation par paquet à disposition? On peut par exemple trouver telle que la parité de soit la même pour .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8211f94f]

Hum lobachevsky, j'ai du mal à te suivre parce que d'une part pour moi la partie entiere de la la racine carrée ne peut pas etre majorée par n lui meme ou sinon je n'ai pas compris une étape et d'autre part je ne comprends pas ta conclusion, tu minores la serie des Un par la serie des ((-1)^n)/n
et tu dis que celle ci diverge donc la serie des Un aussi et pourtant selon moi la serie des (-1)^n/n converge (critere special des series alternées)...

girdav, malheureusement je ne dispose pas d'un theoreme de sommation par paquet (je suis en PSI et non en MP ^^).
Nan mais peut etre qu'avec une majoration comme avait commencé lobachevsky mais je ne sais pas comment la mettre en place a cause de la racine carrée..

[acx01b]

salut, je ferais effectivement des paquets (regrouper les entiers consécutifs d'un carré) puis j'utiliserais que :




ensuite je dirais qu'après un carré il y a 2 entiers de plus qu'après celui d'avant

en sommant un paquet et celui d'après, il reste donc des termes de type qui donnent une série absoluement convergente,


et deux termes du type



qui donnent une série également absolument convergente.

donc au final la série est convergente

j'ai bon ?

[invite392a8924]

Hum lobachevsky, j'ai du mal à te suivre parce que d'une part pour moi la partie entiere de la la racine carrée ne peut pas etre majorée par n lui meme ou sinon je n'ai pas compris une étape et d'autre part je ne comprends pas ta conclusion, tu minores la serie des Un par la serie des ((-1)^n)/n
et tu dis que celle ci diverge donc la serie des Un aussi et pourtant selon moi la serie des (-1)^n/n converge (critere special des series alternées)...

girdav, malheureusement je ne dispose pas d'un theoreme de sommation par paquet (je suis en PSI et non en MP ^^).
Nan mais peut etre qu'avec une majoration comme avait commencé lobachevsky mais je ne sais pas comment la mettre en place a cause de la racine carrée..

salut
je vais commencer doucement,

le critère de comparaison dit que si



et que la série est convergente alors la série

est converge .



On a



donc


la série à, droite converge donc notre série converge .

[invitebe08d051]

la série à, droite converge .

Primo: la série à droite ne converge pas.

Secundo: Ici, le critère de comparaison ne marche pas car n'est pas positive. (Essayer avec -1 et 0 )

Tercio: Un seul message lisible vaut mieux que mille messages sans que l'on comprenne ce que vous dites.

Pour revenir à la question principale, c'est un classique utilisant le théorème de sommation par paquet, si ce n'est pas au programme, tu peux refaire la démonstration du théorème dans le cas particulier de ta série. (Ce n'est pas long...je pense)