Construction de l'arctangente.

[invite310410a0]

Bonjour/soir

Actuellement étudiant en MPsi je me retrouve donc a devoir faire la dernière partie d'un devoir maison sur les fonctions trigonométriques usuelles.
Et comme d'habitude je coince sur les première questions.

- Les outils disponible sont donc ceux concernant les fonctions disponible en sup.

Ce que l'on sait :

- At désigne Arctangente
- At est l'unique primitive de : 1/(1+x²)
- At est strictement croissante sur R

On introduit h la fonction définie par :

h(x) = At(x) + 1/x

A partir de cette fonction on demande de prouver que At(x) est majorée sur R.

- h est bien entendue strictement décroissante mais je ne sais pas exploité ce résultat.
- J'ai remarquer la lipshitziannité, mais j'obtiens At(x) < x sur R+ et le contraire sur R-

Merci ^.^
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[Tiky]

Bonjour,

Tu peux remarquer facilement que ta fonction est impaire. Il suffit donc de montrer qu'elle est bornée sur . Tu remarques aussi qu'elle est de classe sur .

Maintenant, une fonction continue sur n'est pas bornée seulement si elle admet une limite infinie en . Le jeu est donc de montrer que admet une limite finie (inutile de la déterminer) en . Or il est clair que cette fonction admet une telle limite finie si et seulement si il en va de même pour la fonction . Tu as montré que était décroissante pour assez grand. Il manque quoi pour savoir qu'elle admet une limite finie ?

[Tiky]

Une petite erreur dans ma réponse, une fonction continue sur peut ne pas admettre de limite en et ne pas être bornée. En revanche si elle admet une limite finie, elle est bien bornée . C'est une condition suffisante.

[invite310410a0]

Bonjour,

Tu peux remarquer facilement que ta fonction est impaire. Il suffit donc de montrer qu'elle est bornée sur . Tu remarques aussi qu'elle est de classe sur .

Maintenant, une fonction continue sur n'est pas bornée seulement si elle admet une limite infinie en . Le jeu est donc de montrer que admet une limite finie (inutile de la déterminer) en . Or il est clair que cette fonction admet une telle limite finie si et seulement si il en va de même pour la fonction . Tu as montré que était décroissante pour assez grand. Il manque quoi pour savoir qu'elle admet une limite finie ?

Certainement oui mais, ici je demande de l'aide pour prouver la majoration de At sur R.
Ainsi le théorème de la limite monotone offre sur un plateau l'existence de la limite finie.
( Et comment tu remarques que elle est impaire ? )

On doit obtenir la majoration a partir de h.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Pour la parité, utilise un changement de variable dans l'intégrale.
Moi je te propose de montrer à partir de h, que f est bornée. Je ne vois pas ce qui te dérange. C'est une méthode comme une autre.

[invite310410a0]

- Si tu pouvais détailler le changement de variable?

- Très bien donc At admet une limite finie si h admet une limite finie.

-> H est strictement décroissante
-> Donc il nous manque la minoration de h ?

Où alors j'ai pas compris auxquelle cas je te demande d'être plus explicite.

[Tiky]

- Si tu pouvais détailler le changement de variable?

- Très bien donc At admet une limite finie si h admet une limite finie.

-> H est strictement décroissante
-> Donc il nous manque la minoration de h ?

Où alors j'ai pas compris auxquelle cas je te demande d'être plus explicite.

Parité de .
On a :

Alors :
On a posé u = -t.

Tu as bien compris ma méthode. Minore h (tu peux y aller de façon très grossière, ça passe). N'oublie pas que h est décroissante pour x assez grand.

[invite310410a0]

Néanmoins un quelque chose me gène tu serais pas en train de me dire que toute fonction monotonne et admetant une limite finie serait bornée ?

Si je prend 1/x restreinte a R*+ j'ai un contre exemple.

[Tiky]

Non je ne dis pas ça . J'ai un argument ensuite.
L'idée est la suivante. Une fois que tu as montré que avait une limite en , alors tu sais qu'il existe un et un tels que .
Tu sais que est continue sur le segment . Elle est donc bornée sur ce segment par un réel positif . Tu prends le maximum de et et tu as ton majorant sur . Ton contre-exemple vient du fait que ta fonction est continue sur un ouvert et non un segment.

[invite310410a0]

Sauf que le majorant est sensé nous donner la limite est non le contraire.

A priorie on ne sait pas que At est continue.


( Où alors il existe un théorème qui affirme que une intégrale est une fonction continue? )

[Tiky]

Sauf que le majorant est sensé nous donner la limite est non le contraire.

A priorie on ne sait pas que At est continue.


( Où alors il existe un théorème qui affirme que une intégrale est une fonction continue? )

Oui c'est le théorème fondamentale de l'analyse. Je t'ai dit que est dans mon premier message. J'ai utilisé ce théorème. Et je minore h pour montrer qu'elle a une limite finie en . Alors a une limite finie, c'est d'ailleurs la même. Et j'emboîte sur le raisonnement que je viens de t'exposer juste au-dessus.

[invite310410a0]

Je continue de tourner en rond avec la minoration.

On pourrais minorée par 1/x en prouvant que At est positive sur R+ mais je ne voie pas comment faire.

. . .

[Tiky]

Je continue de tourner en rond avec la minoration.

On pourrais minorée par 1/x en prouvant que At est positive sur R+ mais je ne voie pas comment faire.

. . .

Je te rappelle que si est une fonction continue sur , alors

[Tiky]

Ton idée fonctionne aussi. Tu sais que sur . Tu en déduis que sur , .

[invite310410a0]

Ton idée fonctionne aussi. Tu sais que sur . Tu en déduis que sur , .

Hu l'intégrale d'une fonction a valeur positive est positive suis-je bête ~~.

Bein merci j'ai tout du coup.

[Tiky]

C'est vrai aussi parce qu'on a d'où l'intérêt d'avoir étudier cette fonction uniquement . Bonne continuation.