Bonjour,
Je vois que X^4+1 = (X+1)^4 dans F2[X], mais je voudrais des précisions sur comment obtenir ce résultat.
Je constante immédiatement que 1 est racine de X^4+1 ce qui signifie qu'il est factorisable par (X-1) = (X+1), mais je ne vois pas comment prouver que la multiplicité de la racine est de 4 à part effectuer plusieurs divisions : peut-on le montrer directement ? Merci.
bonjour,
j'ai pas compris "Je vois que X^4+1 = (X+1)^4 dans F2[X]"???
et X^4+1 # (X+1)^4 !!!
merci de préciser
F2[X] est le corps à 2 éléments (dont un représentant est Z/2Z). Bien sûr X^4+1 est différent de (X+1)^4 dans d'autres corps comme R ou C. Mais dans F2[X] ils sont égaux (lu dans la solution d'un exercice mais je ne l'ai pas comprise c'est pour ça que je demande).
c'est de l'algébre j'ai compris!
désolé je n'est aucune idée
bon courage
Je dis peut-être une grosse bêtise mais je crois que ton énoncé est incomplet.
Commeest un anneau commutatif. On peut utiliser le binôme de Newton.
Or deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients le sont. Ce n'est clairement pas le cas ici.
En revanche les fonctions polynomiales associées sont égales.
En effet si tu considères l'application :
Mais 4 et 6 sont égaux à 0 dans Z/2Z, donc X^4+4x^3+6x^2+4x+1 = x^4+1.
Oui effectivement. Comme je l'avais dit, je risquais de dire une bêtise. Au moins tu as la méthode pour le prouverEnvoyé par Linkounet
.
Malheureusement ça ne m'aide pas, l'énoncé était de factoriser X^4+1, en lisant la soluce je trouve (X+1)^4. Je sais que le polynôme est factorisable par (X+1) car 1 est une racine évidente, mais comment prouver que en plus de ça 1 est une racine de multiplicité 4 ?
Salut !
On est ici face à un phénomène propre à la caractéristique p>0 :
dans un anneau commutatif de caractéristique p on a la formule (a+b)^p = a^p + b^p
comme on est en caractéristique 2 on a de facon tout a fait naturelle que (x+1)^4=x^4+1
c'est comme ca qu'on le voit directement.
ca ressemble à une astuce, mais en fait c'est un phénomène très général : la seul chose qui pose vraiment problème pour factoriser les polynomes en caractéristique p c'est (outre la recherche de racines qui est l'eternelle problème en toute caractéristiques...) les racines qui apparaisse avec une multiplicité divisible par un puissance de p (car dans ce cas, les technique classique de repérage des racines multiple en calculant les dérivé de donne rien car la dérivé de Q^p est pQ^(p-1) = 0 ) ... et dans ce cas comme on a un ((x-a)^(p^n))^k dans la factorisation notre formule précédente va jouer un rôle.
Tu sais que -1 est racine. Alors
Tu regardes tous les polynômes du troisième degré qui n'ont pas 0 comme racine.
Ce sont les seuls. Le dernier convient et il a -1 comme racine. Tu sais donc que
Tu recommences avec les polynômes du second degré qui n'ont pas 0 comme racine.
C'est encore le dernier qui convient. Et ainsi de suite.
Tu dérive le plynôme et voit que sa dérivée est identiquement nulle donc toutes les suivantes aussi ? ^^
dériver un polynome pour connaitre la multiplicité d'une racine ne fonctionne pas en caractéristiques p. car ce résultat est basé sur la formule de taylor et pour utiliser la formule de taylor on a bessoin de diviser par n!. (plus précisement, ca ne fonctionne plus dès que la multiplicité est supérieur à p... )
par exemple dans x^n+x^p (avec n>p) 0 est de multiplicité p, mais pourtant en caractéristiques p toutes les dérivés du polynome en 0 sont...
c'est à ce genre de phénomène auquel je faisait référence dans mon poste précedant.
enfin, si en fait il y a quand même une methode général pour trouver la multiplicité de la racine a dans le polynome P qui marche en toute caractéristique : la multiplicité de a c'est la valuation du polynome P(x+a)
or (X+1)^4 +1 = X^4+1+1 = X^4 donc multiplicité 4.
D'accord merci de vos réponses, c'est plus clair maintenant.
A titre informatif, cette démonstration "à l'arrache" est-elle correcte ?
X^4+1 est de degré 4 et admet donc 4 racines éventuellement confondues. Comme 0 n'est pas une racine, il ne reste que 1 qui doit forcément être une racine d'ordre 4, donc X^4+1 = (X+1)^4
Pas faux, merci ksilver ^^
Qui te dit que
Linkounet, pour que ton argument fonctionne il faudrait vérifier que le polynome na non plus de racines dans les extensions fini de F_2 (F_4,F_8 etc... )... ce qui est faisable, mais c'est un tout petit pplus compliqué ^^
