Factorisation de Weierstrass dans la pratique

[breukin]

Le théorème de factorisation de Weierstrass stipule qu'une fonction entière peut se factoriser sous la forme :

avec
et où est un polynôme, avec certaines conditions sur le degré du polynôme ainsi que sur les entiers p et n, le produit infini parcourant les zéros de f (les conditions sont justement telles que le produit infini converge).

La question est : comment fait-on dans la pratique pour déterminer le polynôme . Existe-t-il une méthode générale ou bien chaque cas est un cas d'espèce.

Si la démonstration pour la fonction Gamma est relativement aisée :

(donc p=n=1 et ),
quelles peuvent être les grandes lignes de la démonstration de la valeur explicite du polynôme P pour la fonction zêta ?

le produit étant étendu à tous les zéros non triviaux, dans la bande critique ?
Donc où sauf erreur.
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[invite4ef352d8]

Salut !

ce que tu dis n'est pas vrai en général, il faut des hypothèse de domination de f (par des exeponentielle de polynome...), (et peut-etre aussi des hypothèses de bonne répartition des zéros de la fonction f qui assure que le produit infinit a une chance de converger et qui sont il me semble des conséquence non trivial des condition de domination) : par exemple exp(exp(t)) ne vérifie pas ce théorème

pour revenir à ta question, non il n'y à aucun moyen géneral de trouver les constantes (mis à part le degrée des polynomes). en jettant un oeil au détail de la preuve de cette factorisation tu comprendra mieux pourquoi :

le principe général est assez simple, on a une fonction f holomorphe, on construit un produit infini qui a les memes zéros (les terme exponentielle à l'intérieur du produit servent juste à assurer la convergence...) quand on fais le quotient des deux on trouve une fonction holomorphe h sans pole ni zéro , on sais alors que c'est l'exponentielle d'une fonction holomorphe g, qui peut-etre tous a fait quelconque la en général on est coincé... sauf si on à une hypothèse de domination sur f par une exponentielle de polynome... dans ce cas, cette domination s'étend à h, et devient une domination par un polynome de g... et donc d'apres liouville g est aussi un polynome... mais comme tu le vois, c'est une sorte de coincidence... et ce polynome n'est pas vraiment "canonique" : il dépend en général des termes exponentielle qu'on met dans le produit (et ceci n'ont aucune raison d'etre cannonique puisqu'on les met juste pour assurer la convergence)

[breukin]

Effectivement, par "toute fonction entière" qui était un abus de langage signifiant dans la pratique "toute fonction entière qui va bien" et plus mathématiquement "toute fonction entière d'ordre fini ayant des zéros" (je pense que "fini" doit être lu "non nul" pour exclure les polynômes pour lesquels le produit infini n'a pas de sens ?).
Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...de_Weierstrass

Mais ce n'était pas toute ma question.
Car s'il n'existe pas de méthode générique pour exhiber le polynôme P (une fois qu'on a déterminé par ailleurs le terme le plus simple pour assurer la convergence du produit, qui pour Gamma ou zêta est le plus simple z/a), quelle est la démonstration qui conduit à la formule de zêta ou xi ?
Pour Gamma, c'est simple, car il y a le développement en somme infinie de Psi qui fait apparaître la constante d'Euler, et qui s'obtient pas des méthodes assez simples. Par intégration puis exponentiation on arrive directement au produit infini.

Je cherche donc les grandes lignes de la démonstration spécifique pour zêta.

[breukin]

Horreur, les deux pages :
http://mathworld.wolfram.com/Riemann...tionZeros.html
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...Ata_de_Riemann
ne donnent pas la même formule (gamma ou gamma/2), d'où l'intérêt de la démo !
(Cela dit, sur wiki anglophone, on a comme Eric Weisstein/Wolfram et comme Abramowitz & Stegun, donc l'erreur est sur wiki France.)

[A voir en vidéo sur Futura]