[MPSI] - Application Linéaire : u² = Õ (Pb pour le Noyau)

[invite61e7873c]

Bonjour.
J'ai réalisé une démonstration dont j'ai le pressentiment qu'elle est fausse, mais perfectionniste comme je suis, j'aimerais comprendre pourquoi.

On définit u endomorphisme de E tel que u°u=Õ (application nulle)
J'ai exprimé Ker(u):

Démonstration : (j'utilise le sigle € pour "appartenant")

Ker(u) = {x€E / u(x)=0}
Ker(u) = {x€E / u[u(x)]=u(0)} or u(0)=0 car u € L(E)
Ker(u) = {x€E / u°u(x)=0}
Ker(u) = E

J'obtient donc u = application nulle... Bizarre. Et même faux d'après quelques exercices que j'ai observé ici et là..

POUVEZ VOUS M'AIDER A COMPRENDRE l'ERREUR? Merci D'avance.

Pierre

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[invite14e03d2a]

Salut!

Effectivement, ta démonstration est fausse. Il existe des matrices non nulles de carré nulle. Par exemple, la matrice M=[[0,1];[0,0]] (j'espère que ma notation est claire, je ne sais pas faire de matrice en Latex).

Pour ce qui est de ta démo:

Ker(u) = {x€E / u[u(x)]=u(0)} or u(0)=0 car u € L(E)

L'erreur se situe ici. L'ensemble de droite n'est autre que Ker(u²) et Ker(u) est bien inclus dans Ker(u²) mais l'inclusion peut être stricte (cf. exemple précédent)

Cordialement

[invitebe0cd90e]

le truc c'est que d'une maniere generale, si f est une appli lineaire, alors si pour un certain x on a f(x)=0, alors a fortiori f(f(x))=0. Mais l'inverse n'est pas forcement vrai.

la seule chose que tu peux remarquer de u si est la suivante :

Puisque pour tout x de E, u(u(x))=0, alors pour tout x de E u(x) appartient a Ker u par definition de Ker. Autrement dit tu as l'inclusion : .

[invite61e7873c]

Ok ! Et donc d'est à quelle ligne de la démonstration qu'il y a un beug?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite61e7873c]

je ne comprends pas l'histoire des droites =S

u(x)=0 est bien équivalent à u(u(x))=u(0) non ?

[invitebe0cd90e]

je ne comprends pas l'histoire des droites =S

Euh, il parlait de "droite" par opposition a "gauche", il voulait dire "a droite de l'expression".

u(x)=0 est bien équivalent à u(u(x))=u(0) non ?

Bien sur que non !! C'est exactement ce que je dis dans mon message, tu n'as bien evidemment que l'implication (totalement triviale, d'ailleurs) : ..

Relis bien mon dernier message.

[invitebe0cd90e]

Honnetement ca n'est pas tres compliqué, mais si tu as besoin de details : suppose que u n'est pas l'application nulle. Donc il existe x tel que u(x) soit different de 0. Or, dans ton cas, u(u(x))=0 (puisque c'est vrai pour tout x de E).

Donc u(u(x))=0 et pourtant u(x) different de 0 par hypothese.

[invite61e7873c]

Oulala j'étais à l'Ouest ^^ (oui pour les droites j'ai dcliqué trop vite je m'en suis rendus compte juste après.

Ok donc ma démo est fausse à cause de la non équivalence entre la ligne 1 et la line 2. c'est bien ça ?

Merci pour votre aide, c'est vraiment de la générosité gratuite : je débute dans les forums et je dois avouer que je suis surpris de la façon dont les genss'aident : c'est génial. Bonne journée à tous !

[invitebe0cd90e]

Oui, si tu veux, ou pour etre plus precis parce que l'affirmation

Ker(u) = {x€E / u[u(x)]=u(0)}

est totalement fausse en general, l'ensemble {x€E / u[u(x)]=u(0)} etant justement le noyau de u°u par definition. Mais comme je te le disais, une info utile que tu peux tirer est que l'image de u est incluse dans son noyau.

[invite61e7873c]

oui c'est effectivement une des question de l'exercice ! Merci encore.